[論文レビュー] New covariant Lagrange formulation for field theories

Takayoshi Ootsuka|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

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ひとこと要約

本稿では、Kawaguchi幾何学を用いて、古典場理論の新しい共変なラグランジュ形式を提案する。場のラグランジアンは、拡張された配置空間 M = 時空 × 場配置空間 上に幾何的構造（Kawaguchi面積計量 K）を定義する。力学は、K に基づく再パラメータ化不変な作用汎関数から導かれ、物理的時空として最小超曲面が得られ、場の力学と時空幾何学が、ファイブレーションを必要とせず、強く共変な枠組みで統一される。これはネーターの定理の簡素化をもたらす。

ABSTRACT

A novel approach for Lagrange formulation for field theories is proposed in terms of Kawaguchi geometry (areal metric space). On the extended configuration space M for classical field theory composed of spacetime and field configuration space, one can define a geometrical structure called Kawaguchi areal metric K from the field Lagrangian and (M,K) can be regarded as Kawaguchi manifold. The geometrical action functional is given by K and the dynamics of field is determined by covariant Euler-Lagrange equation derived from the variational principle of the action. The solution to the equation becomes a minimal hypersurface on (M,K) which has the same dimension as spacetime. We propose that this hypersurface is what we should regard as our real spacetime manifold, while the usual way to understand spacetime is to consider it as the parameter spacetime (base manifold) of a fibre bundle. In this way, the dynamics of field and spacetime structure is unified by Kawaguchi geometry. The theory has the property of strong covariance, which means that it allows one to choose arbitrary parameter spacetime from the total extended configuration space. In other words, we can take more wider class of coordinate transformations such that mix spacetime and field variables which are forbidden to be exchanged in conventional formalism. In this aspect, we call our formalism fibration-free. This aspect also simplifies the discussion on symmetries such as Noether's theorem.

研究の動機と目的

• 時空と場の配置を同等に扱う、ファイブレーション構造に依存しない古典場理論の新しい幾何的定式化を構築すること。
• 拡張された配置空間上に、場のラグランジアンから定義されるKawaguchi面積計量 K を用いて、場の力学と時空幾何学を統一すること。
• 時空と場変数を混合する任意の座標変換を許容することで、固定されたファイブレーションを排除する、強い共変性を達成すること。
• Kawaguchi多様体 (M,K) に基づく幾何的・再パラメータ化不変な枠組みにネーターの定理を定式化することで、それを簡素化すること。
• 時空を固定されたパrameter空間ではなく、力学から導かれる幾何的対象として再解釈すること。具体的には、(M,K) 内の最小超曲面としての物理的時空多様体を提案すること。

提案手法

• 時空 S と場配置空間 Q を用いて、拡張された配置空間 M = S × Q を定義し、場のラグランジアンから導かれるKawaguchi (n+1) 次元面積計量 K を備える。
• 再パラメータ化不変性を保証するため、dx に関して1次同次性（K(λdx) = λK(dx)）を課す。
• 拡張された配置空間 M 内の (n+1) 次元部分多様体 σ ⊂ M 上で、幾何的作用汎関数 A[σ] = ∫σ K(x, dx) を構成する。この作用は超面積を測定し、パラメータ化に依存しない。
• A[σ] の変分原理から共変なオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、物理的解として (M,K) 内の最小超曲面が得られる。
• 形式的曖昧性を避けるために、パラメータ空間 S ⊂ ℝⁿ⁺¹ 上で、幾何的対象（例：dx[μμ′]dx[ν] および d²x[μμ′] ∧ dx[ν]）のプッシュバック形式を用いる。
• マクスウェル場にこの形式を適用し、共変なネーターの流れを導出し、標準的なパラメータ化下で従来の結果と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーション構造に依存しない、時空と場を対称的に扱う幾何的枠組みで、場理論を再定式化することは可能か？
• RQ2 拡張された配置空間上に、ラグランジアンから定義される計量を用いて、場の力学と時空幾何学を一つの幾何的対象として統一できるか？
• RQ3 再パラメータ化不変性と強い共変性が、場理論における対称性とネーターの定理に与える影響は何か？
• RQ4 Kawaguchi多様体 (M,K) 内の最小超曲面解が、物理的時空多様体としてどのように対応するか？
• RQ5 従来の場理論では禁止されているが、時空と場変数を混合する一般座標変換を、この形式がどのように扱えるか？

主な発見

• 幾何的作用汎関数 A[σ] = ∫σ K(x, dx) は、部分多様体 σ の再パラメータ化に対して不変であり、強い共変性とファイブレーションの不在を保証する。
• 共変オイラー＝ラグランジュ方程式の解は、Kawaguchi多様体 (M,K) 内の最小超曲面であり、物理的時空多様体として提唱される。
• この形式は、時空と場変数を混合する任意の座標変換を許容し、従来の場理論をはるかに超えた対称性のクラスを拡張する。
• ネーターの定理は、この幾何的設定において著しく簡素化される。対称性は (M,K) の幾何と作用汎関数に自然に埋め込まれる。
• マクスウェル場に対して得られた電流 T₀, T₄, T₅, L₁₂ は、標準的な時空座標にプッシュバックした際に、従来のネーターの3形式電流と一致する。
• この形式は、時空幾何学が根本的ではなく、場のラグランジアンから導かれる拡張配置空間 (M,K) 内の最小超曲面として生じる、という事実を明らかにする。