[論文レビュー] New crisis in geometry?

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Relativity and Gravitational Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、現代微分幾何学が、非リーマン幾何学、特にT幾何学の不当な拒絶によって危機に瀕していると主張している。T幾何学は、自由粒子の運動が根本的に確率的で質量依存的であるような決定論的時空幾何を可能にする。世界関数のみを用いてユークリッド幾何学に変形原理を適用することにより、非リーマン的枠組みを構築し、量子力学に類似した振る舞いを再現し、リーマン的極限を超えた物理的幾何の基礎を提供する。

ABSTRACT

The first crisis in the geometry arose in the beginning of XIXth century, when the mathematicians rejected the non-Euclidean geometry as a possible geometry of the real world. Now we observe unreasonable rejection of the non-Riemannian geometry by the official representatives of the contemporary geometry. Class of the Riemannian geometries appears to be too narrow for physical applications. The microcosm physics needs expansion of the class of possible geometries appropriate for the role of space-time geometry. In the framework of the non-Riemannian geometry one can construct the space-time geometry, where the motion of free particles is primordially stochastic, and this stochasticity depends on the particle mass. At the same time the geometry in itself is not stochastic in the sense that the space-time intervals are deterministic. Principles of quantum mechanics can be deduced from such a space-time geometry. The crisis situation in geometry appears to be connected with some preconceptions concerning the foundation of the geometry. The preconceptions as well as the crisis generated by them are not purely scientific phenomena. The human factor (social aspect) is rather strong in the crisis phenomena. The preconceptions and the human factor appear to be so strong, that usual logical arguments are not perceived, and the usual formal mathematical language appears to be inappropriate for perception of an analysis of the crisis origin and of a possibility of its overcoming. In the paper the history and motives of the non-Riemannian geometry construction are presented. There is a hope that such a less formal way of presentation helps to understand and to overcome the existing preconceptions.

研究の動機と目的

• 現代の数学的物理学における非リーマン幾何学の不当な拒絶に挑戦すること。
• 世界関数と変形原理に基づくT幾何学が、時空幾何の妥当な基礎を提供することを示すこと。
• 量子力学的原理が、決定論的で非リーマン的幾何的枠組みから導けることを示すこと。
• 根強い先入観と基盤的革新への抵抗によって引き起こされた幾何学における社会的・科学的危機に対処すること。
• パラダイム転換を拒む伝統と権威に依存するプトレマイオス的基準を排除し、説明力と整合性に基づくニュートン的基準を科学的評価に採用することを提唱すること。

提案手法

• 座標系や位相的曲線に依存せずに、世界関数を変更することで、ユークリッド幾何学に変形原理を適用する。世界関数はすべての幾何的関係を定義する。
• 曲線、平行性、曲率などの幾何的対象を、位相的定義を避けて世界関数からのみ再構築する。これにより、推移的平行性を強制する定義を回避する。
• 非退化な幾何的構造を任意のσ空間で定義するために、グラム行列式の条件（F_n(𝑃ⁿ) ≠ 0）を用いる。これは次元の概念を一般化する。
• 微分構造やアフィン接続の必要性を避け、代わりに内在的な計量関係に依存する。
• 自由粒子の運動が決定論的であるにもかかわらず、確率的で質量依存的であるような幾何を構築可能である。
• この枠組みは、リーマン幾何学の既知の限界である、遠く離れた点における推移的平行性の不適合性を再現できることで検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リーマン幾何学は、物理的関連性があるにもかかわらず、なぜ数学界によって体系的に拒絶されてきたのか？
• RQ2 決定論的時空幾何が、質量依存的な本質的確率的軌道を生み出すことは可能か？
• RQ3 位相的曲線の定義やアフィン接続に依存せずに、物理的幾何を構築することは可能か？
• RQ4 世界関数に変形原理を適用することで、リーマン的でない新しい幾何がどのように生成されるか？
• RQ5 先入観と社会的ダイナミクスは、基盤的幾何学における科学的進歩を妨げる要因として果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、世界関数と変形原理に基づく非リーマン的幾何が、自由粒子の運動が根本的に確率的で質量依存的であるような決定論的時空モデルを生み出せることを示している。
• 変形原理により、従来のリーマン的または位相的手法では得られない幾何が構築可能であり、特に遠く離れた点における推移的平行性の破綻を示す幾何が含まれる。
• グラム行列式の条件（F_n(𝑃ⁿ) ≠ 0）を用いることで、任意のσ空間における幾何的構造の非退化性が保証され、リーマン的極限を超えた次元の一般化が可能になる。
• この枠組みにより、質量依存的な確率的性質を示す量子力学に類似した振る舞いが、完全に決定論的な幾何的基盤から生じることが示された。
• 著者は、科学的誤りに加え、パラダイム転換への抵抗を助長する固定された社会的・制度的抵抗が原因で、幾何学に包括的危機が生じていると指摘している。
• 本稿は、説明力と整合性に基づくニュートン的基準が、変化を拒む権威と伝統に依存するプトレマイオス的基準に取って代わるべきだと結論づけている。