[論文レビュー] New deformations of group algebras of Coxeter groups

Pavel Etingof, Eric M. Rains|ArXiv.org|Sep 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボア関係を変形しながら自己同型関係を保ったまま、可換パラメータ $ t_{ijk} $ を用いてコクセター群の群代数の新しい変形クラスを導入する。主な結果として、得られる代数 $ A_+ $ がパラメータ環上に自由（平坦）であるための必要十分条件は、コクセター群がランク3の有限部分パラボリック部分群を持たないことである。これは、フクシアン群のヘッケ代数に関する既知の平坦性結果を一般化する。

ABSTRACT

We define new deformations of group algebras of Coxeter groups W and of subgroups of even elements in them, by deforming the braid relations. We show that these deformations are algebraically flat iff they are formally flat, and that this happens iff the group W has no finite parabolic subgroups of rank 3. The proof uses the theory of constructible sheaves on cell complexes attached to W. We explain the connection of our deformations with the Hecke algebras of orbifolds defined by the first author in math.QA/0406499 and with generalized double affine Hecke algebras defined by the authors and A. Oblomkov in math.QA/0406480. The paper is dedicated to the memory of Walter Feit.

研究の動機と目的

• ボア関係を変形しながら自己同型関係を固定する、コクセター群の群代数の新しい変形クラスを定義し、その性質を調べること。
• これらの変形が平坦な代数を生じる条件を特定すること、特に偶数次元要素で生成される部分代数 $ A_+ $ に焦点を当てる。
• 変形された代数の平坦性と、関連するコクセター群の幾何的性質との間の関係を確立すること、特にフクシアン群との関連を重視すること。
• 構成可能層と表現論を用いて、変形された代数に自然なフィルトレーションと基底を構成すること。
• 計算的手法に依存せずに、多角形型フクシアン群のヘッケ代数に対するPBW型定理を一般化し、代数的に証明すること。

提案手法

• 変形は、ボア関係 $ (s_i s_j)^{m_{ij}} = 1 $ を $ \prod_{k \in \mathbb{Z}_{m_{ij}}} (s_i s_j - t_{ijk}) = 0 $ に置き換えることで定義され、ここで $ t_{ijk} $ は可換な形式的パラメータである。
• 代数 $ A $ は生成元 $ s_i $ と $ t_{ijk} $ を持ち、$ s_i^2 = 1 $、$ s_p t_{ijk} = t_{jik} s_p $、および変形されたボア関係を満たす。
• 生成元 $ s_i s_j $ と $ t_{ijk} $ で生成される部分代数 $ A_+ $ は、偶数部分群の群代数 $ \mathbb{C}[W_+] $ の真の変形であることが示される。
• 形式的変形論を用いて $ \mathbb{C}[[\log t_{ijk}]] $ 上で平坦性を分析し、形式的平坦性から代数的平坦性を導出する。
• コクセター群のセル複体上の構成可能層を用いて、Ext群を解析し、局所系統の変形の存在を証明する。
• 証明の根幹は、$ \mathbb{C}[W_+] $ の正則表現が変形代数 $ A_+ $ の加群に変形可能であることを示すことであり、特定のコhomologicalな消失条件が成立する場合に平坦性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボア関係を変形しながら自己同型関係を保ったまま定義されるコクセター群代数 $ \mathbb{C}[W] $ の新しい変形が、代数的に平坦であるための条件は何か？
• RQ2 変形された代数 $ A_+ $ の平坦性は、コクセター群の幾何的・組合せ論的構造、特にランク3の有限パラボリック部分群の存在とどのように関係しているか？
• RQ3 構成可能層と表現論を用いて、多角形型フクシアン群に付随するヘッケ代数の平坦性を代数的に確立できるか？
• RQ4 変形代数 $ A_+ $ に対して自然なフィルトレーションと基底が存在するか？また、それらはPBW性質とどのように関連しているか？
• RQ5 代数 $ A_+ $ がパラメータ環 $ R = \mathbb{C}[t_{ijk}] $ 上で自由であるための、コクセター行列 $ M $ に対する正確な条件は何か？

主な発見

• 群代数 $ \mathbb{C}[W] $ の変形 $ A $ が代数的に平坦であるための必要十分条件は、$ \mathbb{C}[[\log t_{ijk}]] $ 上で形式的平坦であることであり、これによりパラメータ環 $ R $ 上での自由性が保証される。
• ランク3のコクセター群に対しては、代数 $ A_+ $ が平坦であるための必要十分条件は、群が無限大であること、すなわち三つ組 $ (m_{12}, m_{13}, m_{23}) $ が $ (2,2,m) $、$ (2,3,3) $、$ (2,3,4) $、$ (2,3,5) $ のいずれにもならないことである。これらは有限群に対応する。
• 本研究の主たる結果は、この事実を任意のランクに一般化したものである：$ A_+ $ が平坦であるための必要十分条件は、$ W $ がランク3の有限パラボリック部分群を持たないことである。
• 生成元 $ s_i $ における短縮語を用いて、自然なフィルトレーション $ F^n A $ を構成し、$ F^n A / F^{n-1} A $ が $ R $-加群として有限生成自由となる。
• 多角形型フクシアン群 $ \Gamma $ のヘッケ代数 $ \mathcal{H}(\Gamma) $ は、特定のコクセター行列 $ M $ に対して $ A_+(M) $ と同型であり、$ R = \mathbb{C}[t,t^{-1}] $ 上で自由であるための必要十分条件は $ \sum_j (1 - 1/m_j) \geq 2 $ であることである。これは、ユークリッド的または双曲的幾何に対応する。
• 本稿では、コンピュータ支援手法に依存せずに、$ \mathcal{H}(\Gamma) $ に対して代数的PBW定理を構成し、自然な基底とフィルトレーションを構築する。ただし、球面的部分代数で用いられるイデムポテンは同次的ではない。