[論文レビュー] New entropy for Korteweg's system, existence of global weak solution and Prodi-Serrin theorem

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Korteweg毛細管流体系における新しい有効速度およびエントロピー構造を導入し、弱解の全域的存在の証明と、より精緻なProdi-Serrin型の爆発基準の確立を可能にする。Besov空間の推定とKortewegテンソルの新規分解を活用することで、密度および速度の強力なコンパクト性と改善された正則性が確立され、毛細管性を有する圧縮性Navier-Stokes系に関する既存の結果が拡張される。

ABSTRACT

This work is devoted to prove new entropy estimates for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985) (see \cite{fDS}), which can be used as a phase transition model. More precisely we will derive new estimates for the density and we will give a new structure for the Korteweg system which allow us to obtain the existence of global weak solution. The key of the proof comes from the introduction of a new effective velocity.The proof is widely inspired from the works of A. Mellet and A. Vasseur (see \cite{fMV}). In a second part, we shall give a Prody-Serrin blow-up criterion for this system which widely improves the results of \cite{Hprepa} and the known results on compressible systems.

研究の動機と目的

• 圧縮性Navier-Stokes方程式の古典的結果を拡張し、毛細管性を有する等温Korteweg系に対して、全域的弱解の存在を確立すること。
• 拡散界面モデルの文脈において、コンパクト性および正則性を向上させるための新しい密度に関するエントロピー推定を導出すること。
• 運動量方程式を簡略化し、より強い事前推定を可能にする新しい有効速度変数を導入すること。
• Korteweg系に対して、既存の圧縮性流体の結果を改善した、精緻化されたProdi-Serrin型の爆発基準を提供すること。
• 密度の対数勾配の観点からKortewegテンソルを再定式化し、エネルギー推定に役立つ新しい粘性的構造を明らかにすること。

提案手法

• 有効速度 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $ を導入し、運動量方程式をエネルギー推定およびBesov空間推定に適した形に変換する。
• $ \nabla \sqrt{\rho} \in L^\infty_T(L^2) $ の解析により新しいエントロピー推定を導出し、$ \ln \rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty}) $ の制御を実現する。
• Besov空間におけるパラプロダクトおよびBernstein型推定を用いて、$ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ を制御し、存在に十分な正則性を保証する。
• Kortewegテンソルを $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) = \kappa \, \mathrm{div}(\rho D(\nabla \ln \rho)) $ として再定式化し、粘性的構造を明らかにする。
• 再生化解の理論および振動欠損測度を用いて、圧力項 $ a\rho^\gamma $ における極限の取り扱いを行い、弱解の収束を保証する。
• 臨界でない初期データを $ B^{0}_{N+\epsilon,\infty} \times \dot{B}^{1}_{N+\epsilon,\infty} $ として用い、爆発基準を確立し、存在時間 $ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Korteweg系において、コンパクト性および正則性推定の向上を図るための新しい有効速度変数を構成可能か？
• RQ2 Kortewegテンソルをどのように再表現すれば、エネルギーおよびエントロピー推定に役立つ粘性的構造を明らかにできるか？
• RQ3 圧力項の $ L^p_{\text{loc}} $ における強いコンパクト性を保証するため、密度 $ \rho $ に対してどのような新しいエントロピー推定を導出できるか？
• RQ4 Besov空間の正則性および臨界でない初期データを用いて、Korteweg系におけるProdi-Serrin爆発基準を改善可能か？
• RQ5 新しいエントロピー構造は、毛細管流体モデルにおける弱解の全域的存在に、どの程度まで寄与するか？

主な発見

• 著者らは、$ \kappa(\rho) = \kappa \rho^\alpha $、$ \alpha > 0 $ であるKorteweg系に対して、臨界でないBesov空間における一般な初期データのもとで、全域的弱解の存在を確立した。
• 有効速度 $ v = u + \frac{\kappa}{\mu} \nabla \ln \rho $ を導入し、運動量方程式の分離を可能にし、$ u $ および $ \ln \rho $ に対するより強い推定を可能にした。
• Kortewegテンソルは $ \mathrm{div} K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla \nabla \ln \rho) $ として再定式化され、エネルギー推定に役立つ粘性的構造が明らかになった。
• $ \nabla \ln \rho \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ および $ u \in L^\infty_T(B^{0}_{N+\epsilon,\infty}) $ であることが示され、爆発基準に必要な正則性が得られた。
• 新しいProdi-Serrin型の爆発基準が証明された：$ u_0 \in B^{0}_{N+\epsilon,\infty} $ および $ \ln \rho_0 \in B^{1}_{N+\epsilon,\infty} $ ならば、解は全域的であり、$ T' \geq C(1 + \|u_0\|_{B^{0}_{N+\epsilon,\infty}} + \|\ln \rho_0\|_{B^{1}_{N+\epsilon,\infty}})^{-\beta} $ が成り立つ。
• 従来の結果を改善し、$ \rho \in L^2_{\text{loc}} $ といった仮定を避け、代わりに対数密度の正則性および臨界Besov空間におけるパラプロダクト推定に依拠した。