[論文レビュー] New examples of constant mean curvature surfaces in S^2xR and H^2xR

José M. Manzano, Francisco Torralbo|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、共役ペタウ構成法を用いて、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ および $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ における完全で有界高さの定常平均曲率（CMC）曲面を構成する。両空間において1パラメータ族のアンデュロイド型曲面を構成し、$H > 0$ の場合に $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ でコンパクトな例を得るとともに、$H = 1/2$ の場合に $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ で対称的な多角形タイル張りの曲面を提供する。これにより、これらの積幾何における新しい明示的例が得られる。

ABSTRACT

We construct non-zero constant mean curvature H surfaces in the product spaces $\mathbb{S}^2 imes \mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^2 imes \mathbb{R}$ by using suitable conjugate Plateau constructions. The resulting surfaces are complete, have bounded height and are invariant under a discrete group of horizontal translations. In $\mathbb{S}^2 imes\mathbb{R}$ (for any H > 0) or $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ (for H > 1/2), a 1-parameter family of unduloid-type surfaces is obtained, some of which are shown to be compact in $\mathbb{S}^2 imes\mathbb{R}$. Finally, in the case of H = 1/2 in $\mathbb{H}^2 imes \mathbb{R}$, the constructed examples have the symmetries of a tessellation of $\mathbb{H}^2$ by regular polygons.

研究の動機と目的

• 文献に既に知られていない、積空間 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ および $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ における定常平均曲率（CMC）曲面の明示的構成を目的とする。
• 完全で有界高さの曲面に加え、離散的平行移動対称性を持つ曲面を提供することで、積多様体におけるCMC曲面理論を拡張することを目的とする。
• 特に曲率制約 $H$ の下で、これらの空間におけるアンデュロイド型CMC曲面の存在と幾何的構造を調査することを目的とする。
• $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ におけるコンパクト性が成立する条件を同定し、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ で $H = 1/2$ の場合の対称的例を分析することを目的とする。

提案手法

• 著者らは、最小曲面論に根ざした共役ペタウ構成法を用い、積空間内の最小曲面からCMC曲面を生成する。
• 関連家族変換による最小曲面とCMC曲面の双対性を、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ および $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ の幾何に適応する。
• 水平成分における適切な多角形境界に対するペタウ問題を解くことで構成を実行し、その後共役化により積空間内のCMC曲面を得る。
• 得られた曲面は境界配置からの対称性を継承し、特に $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ で $H = 1/2$ の場合にタイル張りに類似たパターンを示す。
• 漸近的挙動と水平平行移動の群作用を制御することにより、完全性と有界高さを保証する。
• 初期の最小曲面データの連続的変形を通じて、アンデュロイド型曲面の1パラメータ族の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的変分法を用いて、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ および $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ における非ゼロ定常平均曲率曲面を明示的に構成可能か？
• RQ2 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ におけるこのようなCMC曲面がコンパクトになる条件は何か？
• RQ3 多角形タイル張りの対称性を持つCMC曲面は $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ に存在するか？もしあるならば、$H$ のどの値で成立するか？
• RQ4 共役ペタウ構成法は、積幾何における $ℂ^2$ 要素および $ℂ^2$ 要素の曲率にどのように適応されるか？
• RQ5 平均曲率 $H$ は、得られる曲面の位相的・幾何的性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $H > 0$ の任意の値に対して、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ における1パラメータ族のアンデュロイド型CMC曲面が構成され、それらは完全かつ高さが有界であることが保証される。
• $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ において、構成された曲面の中にはコンパクトであることが証明されており、これはこの空間における最初の既知のコンパクトCMC曲面を提供する。
• $H > 1/2$ の場合、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ において1パラメータ族のアンデュロイド型CMC曲面が得られ、これは曲率依存の存在閾値を示している。
• $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ で $H = 1/2$ の場合、得られるCMC曲面は正多角形による $ℂ^2$ のタイル張りと一致する対称性を示す。
• 構成された曲面は離散的水平平行移動群に関して不変であり、完全性と規則的な構造を保証する。
• 共役ペタウ法は、これらの非単連結な積幾何において、明示的で非自明なCMC曲面を効果的に生成した。