[論文レビュー] New examples of cylindrical Fano fourfolds

Yuri Prokhorov, Mikhail Zaidenberg|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、5次デル ペッツォ4次元多様体から出発するサルキソフリンクを用いて、ピカール数1でシリンダー（$ Z \times \mathbb{A}^1 $にアイソモルフィックなゾルティ・オープン部分集合）を含む滑らかなファノ4次元多様体の新しい族を構成する。主な貢献は、生成り9および10のシリンダー的ムカイ4次元多様体の明示的構成であり、これによりそれらのアフィン・コーンが有効な $ \mathbb{G}_a $-作用をもつことを示す。

ABSTRACT

We construct new families of smooth Fano fourfolds with Picard rank 1, which contain cylinders, i.e., Zariski open subsets of form $Z imes A^1$, where $Z$ is a quasiprojective variety. The affine cones over such a fourfold admit effective $G_a$-actions. Similar constructions of cylindrical Fano threefolds and fourfolds were done previously in [KPZ11, KPZ14, PZ15].

研究の動機と目的

• ピカール数1でシリンダーを含む滑らかなファノ4次元多様体の新しい族を構成すること。
• 既存のシリンダー的ファノ3次元多様体および4次元多様体の結果を、より高い生成りのムカイ4次元多様体へと拡張すること。
• 5次デル ペッツォ4次元多様体から出発する幾何的リンクを用いて、生成り9および10のシリンダー的ムカイ4次元多様体の存在を確立すること。
• シリンダー的ムカイ4次元多様体が高生成りにおいても存在するかを示唆する証拠を提供し、シリンダー性および有理型に関する未解決問題に寄与すること。

提案手法

• 滑らかな5次デル ペッツォ4次元多様体 $ W_5 \subset \mathbb{P}^7 $ から出発するサルキソフリンクを用いる。
• 特定の曲面（有理型正則5次スクロール $ F \cong \mathbb{F}_1 $ または6次デル ペッツォの反標準的曲面）に沿ったブ lows-up を通じてリンクを構成する。
• 写像 $ \phi: W \dashrightarrow V \subset \mathbb{P}^{g+2} $ を、$ F $ を通る2次式の線型系として定義し、逆写像を $ V \subset \mathbb{P}^{g+2} $ に含まれる曲面 $ S $ の線型包への射影として定義する。
• 得られた $ V $ が、$ \operatorname{Pic}(V) = \mathbb{Z} \cdot L $ および $ -K_V = 2L $ を満たす滑らかなムカイ4次元多様体であることを確認する。
• 同型 $ V \setminus \varphi(D) \cong W \setminus \rho(\tilde{E}) $ を用いて、元の $ W $ から引き継がれるシリンダーを含むことを示す。
• 既知の基準 [KPZ13] を適用し、$ V $ がシリンダー的であるならば、$ V $ のアフィン・コーンが有効な $ \mathbb{G}_a $-作用をもつことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次デル ペッツォ4次元多様体から出発する幾何的リンクを用いて、生成り9および10の新しいシリンダー的ムカイ4次元多様体を構成できるか。
• RQ2 $ W_5 $ に埋め込まれた曲面にどのような条件を課すと、滑らかなシリンダー的ムカイ4次元多様体へと至るサルキソフリンクが存在するか。
• RQ3 すべてのムカイ4次元多様体が $ g \geq 7 $ に対してシリンダー構造をもつのか、それともこのような例はまれなのか。
• RQ4 ファノ4次元多様体にシリンダーが存在することは、有理型および $ \mathbb{A}^4 $ のコンパクト化とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿は、2つの新しい滑らかなシリンダー的ムカイ4次元多様体の族を構成した：生成り9の $ V_{16} \subset \mathbb{P}^{11} $ および生成り10の $ V_{18} \subset \mathbb{P}^{12} $。
• これらの4次元多様体は、5次デル ペッツォ4次元多様体 $ W_5 \subset \mathbb{P}^7 $ から出発するサルキソフリンクを用いて得られ、タイプ $ \mathbb{F}_1 $ または反標準的6次デル ペッツォ曲面である特定の曲面 $ F \subset W_5 $ を用いる。
• シリンダーの存在は、元の $ W $ から引き継がれる同型 $ V \setminus \varphi(D) \cong W \setminus \rho(\tilde{E}) $ を通じて確立される。
• 各 $ V $ のアフィン・コーンは、[KPZ13] に示された基準により、有効な $ \mathbb{G}_a $-作用をもつことが保証される。
• $ g=9 $ および $ g=10 $ の場合、Fano-Iskovskikhの二重射影および $ \mathbb{C}(\mathbb{P}^1) $ 上のツェンの定理を用いて、ムカイ4次元多様体が有理型であることが示された。
• 本研究により、生成り9および10におけるシリンダー的ムカイ4次元多様体の存在が確認され、$ g=7,8 $ の場合の既存の結果が拡張された。