[論文レビュー] New examples of hyperbolic octic surfaces in $\PP^3$

Bernard Shiffman, Mikhail Zaidenberg|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つの一般の4次以上の円錐の和集合を変形することにより、$$\mathbb{P}^3$$におけるKobayashi双曲的曲面の新しい例を構成する。変形法により、得られる曲面の次数 $m+n \geq 8$ が双曲的であることが保証され、8次以上のすべての次数 $d \geq 8$ に対して、$$\mathbb{P}^3$$における双曲的曲面の初の明示的構成が得られる。主な結果は、このような和集合の一般な小さな変形が双曲的であるということであり、8次を超える既知の例を拡張する。

ABSTRACT

We show that a general small deformation of the union of two general cones in P3 of degree >= 4 is Kobayashi hyperbolic. Hence we obtain new examples of hyperbolic surfaces in P3 of any given degree d>= 8.

研究の動機と目的

• すべての次数 $d \geq 8$ に対して、$$\mathbb{P}^3$$におけるKobayashi双曲的曲面の新しい例を構成すること。
• 従来の8次例を超えて、$$\mathbb{P}^3$$における双曲的曲面の既知の族を拡張すること。
• 2つの4次以上の円錐の和集合の一般な小さな変形が双曲的曲面をもたらすことを示すこと。
• 特異曲面の小さな摂動において双曲的性を保つ体系的な変形法を提供すること。

提案手法

• 本手法は、$$\mathbb{P}^3$$内に頂点が互いに異なる点にあり、互いの円錐上にない2つの一般の円錐 $X'$ と $X''$ の和集合 $X = X' \cup X''$ の変形を利用する。ここで $X'$ と $X''$ の次数はそれぞれ $m,n \geq 4$ である。
• 変形は $X_t = \{f_1(z_1,z_2,z_3)f_2(z_1,z_2,z_4) + t f_\infty = 0\}$ で定義され、$t \neq 0$ が十分小さい。ここで $f_\infty$ は次数 $m+n$ の一般な同次多項式である。
• 証明はBrodyの定理に依拠し、非定数の整関数曲線の存在を仮定して、Picardの定理と横断性の議論により矛盾を導く。
• 双曲線 $\Gamma = X' \cap X''$ を分析し、$(z_1:z_2:z_3:z_4) \mapsto (z_1:z_2)$ による射影 $\pi_0$ を用いてファイバーの交点を研究し、一般の $X_\infty$ に対して $\pi_0|\Gamma$ が単射であることを保証する。
• 一般の $X_\infty$ に対して、$\Gamma \cap X_\infty$ は $\pi_0$ に関して最大の基数を持つことが示され、どのファイバーにも $\Gamma \cap X_\infty$ の2点以上が含まれない。これにより、非定数の整関数曲線が存在しないことが保証される。
• このような曲線が存在するならば、矛盾が生じる。なぜなら、整関数曲線は円錐の頂点を通る直線上に強制的に存在することになるが、そのような直線は $\Gamma \setminus X_\infty$ と少なくとも3点で交わることになり、Picardの定理に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathbb{P}^3$$における4次以上の2つの円錐の和集合の一般な小さな変形は、双曲的曲面をもたらすか？
• RQ2 本稿で用いられた変形法は、次数 $d \geq 8$ の双曲的曲面を生成するか？
• RQ3 円錐の和集合と変形を用いて、$$\mathbb{P}^3$$におけるすべての次数 $d \geq 8$ の双曲的曲面を構成可能か？
• RQ4 底曲線と射影に関するどのような条件が、変形された曲面の双曲的性を保証するか？
• RQ5 整関数曲線とPicardの定理を用いた背理法により、変形された曲面の双曲的性を確立できるか？

主な発見

• $$\mathbb{P}^3$$における4次以上の2つの円錐の和集合の一般な小さな変形は、次数 $m+n \geq 8$ のKobayashi双曲的曲面をもたらす。
• 本構成により、8次以上のすべての次数 $d \geq 8$ に対して、$$\mathbb{P}^3$$における双曲的曲面の明示的例が得られ、従来の8次例を拡張する。
• 本手法により、非定数の整関数曲線が存在しないことが保証される。なぜなら、そのような曲線は円錐の頂点を通る直線上に強制的に存在することになり、その直線は双曲線 $\Gamma$ と少なくとも3点で交わるためである。
• 一般の $X_\infty$ に対して、双曲線 $\Gamma$ への射影 $\pi_0$ の制限は $\Gamma \cap X_\infty$ に対して単射である。これは背理法の議論において不可欠である。
• 証明は、小刻みな摂動におけるゼロ集合の横断性と連続性に依拠しており、一般の $X_\infty$ に対して $\pi_0(\Gamma \cap X_\infty)$ の基数が最大であることが保証される。
• 本構成は頑健である：$f_1 = f_2$ の退化した場合でも、元の2つの円錐の和集合が回復され、従来の構成と整合的であることが確認される。