[論文レビュー] New examples on spaces of negative sectional curvature satisfying Ma-Trudinger-Wang conditions

Paul W. Y. Lee, Jiayong Li|ArXiv.org|Nov 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定曲率 $-1$ または $1$ をもつ多様体上のリーマン距離 $ d $ に対して $ c = l \circ d $ と定義されるコスト関数 $ c $ が Ma-Trudinger-Wang (MTW) 条件を満たすための計算可能な関数 $ l $ の条件を確立する。本稿では、ハイパボリック空間上で強い MTW 条件を満たす明示的な新しい例——例えば $ -\cosh \circ d $ や $ -\log(1 + \cosh) \circ d $——を提供し、最適輸送の正則性理論が適用可能な多様体の既知のクラスを顕著に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study the Ma-Trudinger-Wang (MTW) conditions for cost functions $c$ which are of the form $c=l\circ d$, where $d$ is a Riemannian distance function with constant sectional curvature. In this case, the MTW conditions are equivalent to some computable conditions on the function $l$. As a corollary, we give some new costs on Riemannian manifolds of constant negative curvature for which the MTW conditions are satisfied.

研究の動機と目的

• 定曲率 $-1$ の多様体上での Ma-Trudinger-Wang (MTW) 条件を満たすコスト関数 $ c = l \circ d $ を満たす関数 $ l $ に対する計算可能な条件を同定すること。
• 特に最適輸送正則性理論の文脈において、MTW 条件が成り立つ Riemann 多様体の既知のクラスを拡張すること。
• ハイパボリック空間（$K = -1$）および球面（$K = 1$）上で、強いおよび弱い MTW 条件を満たす明示的かつ解析的に取り扱いやすいコスト関数の例を提供すること。
• ユークリッドの二次コストの摂動を分析し、有界領域上で強い MTW 条件を満たすための条件を確立すること。

提案手法

• 元の多様体の定曲率構造を活用して、$ c = l \circ d $ が MTW 条件を満たすための $ l $ に関する必要十分条件を導出する。
• MTW 条件が $ l $、その微分、および曲率を含む計算可能な不等式に簡略化されることを用い、明示的な検証を可能にする。
• コスト指数写像の構成を用いて、$ c $ の微分が $ l' $ の逆関数と関連することを示し、ねじれ条件 (A1) が成立することを保証する。
• カットリムの外側における指数写像と測地線の一意性を用いて $ c $-指数写像を定義し、滑らかさ (A2) を検証する。
• ユークリッドコスト $ z^2/2 $ の摂動として、四次補正項 $ -\varepsilon z^4 $ を導入し、$ \varepsilon $ におけるテイラー展開を用いて得られる MTW 条件を分析する。
• ヘッセ行列や曲率テンソルなどの微分幾何的道具を用いて、MTW 条件を $ l $ 及びその微分に関する点ごとの不等式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ l $ にどのような条件を課すと、定曲率多様体上でのコスト関数 $ c = l \circ d $ が Ma-Trudinger-Wang 条件を満たすか？
• RQ2 ハイパボリック空間（$K = -1$）上で、強い MTW 条件を満たす明示的かつ非自明なコスト関数の例を構成可能か？
• RQ3 有界領域上で、二次コスト $ z^2/2 $ の摂動が強い MTW 条件の有効性にどのように影響するか？
• RQ4 $ l' $ の逆関数は、$ c $-指数写像を定義し、ねじれ条件 (A1) を満たすために果たす役割は何か？
• RQ5 ハイパボリック空間または球面空間上での $ \cosh $、$ \log(1 + \cosh) $、または $ \log(1 + \cos) $ を含むコスト関数に対して、MTW 条件を検証可能か？

主な発見

• 曲率 $-1$ のハイパボリック空間上でのコスト関数 $ -\cosh \circ d $ は、強い MTW 条件を満たす。
• 曲率 $-1$ のハイパボリック空間上でのコスト関数 $ -\log(1 + \cosh) \circ d $ は、強い MTW 条件を満たす。
• 曲率 $-1$ のハイパボリック空間上でのコスト関数 $ \pm \log(\cosh) \circ d $ は、弱い MTW 条件を満たす。
• 曲率 $1$ の球面上でのコスト関数 $ -\log(1 + \cos) \circ d $ は、強い MTW 条件を満たす。
• 十分に小さい $ \varepsilon > 0 $ に対して、摂動コスト $ l_\varepsilon(z) = z^2/2 - \varepsilon z^4 $ は、任意の固定された $ b > 0 $ に対して $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2n} : |x-y| \leq b \} $ 上で強い MTW 条件を満たす。
• MTW 条件は $ l $、$ l' $、$ l'' $ を含む計算可能な不等式に簡略化され、定曲率の対称空間上での明示的検証を可能にする。