[論文レビュー] New first order Lagrangian for General Relativity

Yannick Herfray, Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、補助ラグランジュ乗数を必要とせず、SO(3,C)-接続とリー代数値2形式場を用いて4次元時空における一般相対性理論の新しい一次形式ラグランジアンを導入する。このラグランジアンは、α=0のとき位相的重力理論、λ=0のとき自己双対でない重力理論に interpolate する。一般のα,λに対しては、宇宙定数と位相的項を含む完全なGRを記述し、ヤン・ミルズ理論の変形構造に類似した統一的一次形式の記述を提供する。

ABSTRACT

We describe a new BF-type first-order in derivatives Lagrangian for General Relativity. The Lagrangian depends on a connection field as well as a Lie-algebra valued two-form field, with no other fields present. There are two free parameters, which translate into the cosmological constant and the coefficient in front of a topological term. When one of the parameters is set to zero, the theory becomes topological. When the other parameter is zero, the theory reduces to the (anti-) self-dual gravity. Thus, our new Lagrangian interpolates between the topological and anti-self-dual gravities. It also interprets GR as the (anti-) self-dual gravity with an extra quadratic in the auxiliary two-form field term added to the Lagrangian, precisely paralleling the situation in Yang-Mills theory.

研究の動機と目的

• ラグランジュ乗数場を必要としない一般相対性理論の一次形式ラグランジアンを構築すること。これはプレバニスキの形式とは異なり、
• 位相的重力理論と自己双対でない重力理論の記述を、一つのラグランジアン枠組み内で統一すること。
• ヤン・ミルズ理論に見られる変形構造に類似した、完全なGRの一次形式記述を提供すること。
• 自己双対でない重力理論の統合的構造を基に、完全なGRのツイスター形式への道筋を築くこと。
• 位相的および自己双対でないセクターを、既知の量子重力モデルと結びつけることで、スピンフォーム量子化への関連を探索すること。

提案手法

• ラグランジアンは $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A] = B^i \wedge F^i + \frac{\alpha}{2}\left(\text{Tr}(\sqrt{B^i \wedge B^j})\right)^2 - \frac{\lambda}{2}B^i \wedge B^i$ として構成され、パラメータαとλを含む。
• 第一項は標準的なBF項。第二項は2形式場に非多項式的で平方根構造を導入。第三項は宇宙定数項。
• α=0のとき理論は位相的重力理論に還元され、λ=0のとき自己双対でない重力理論に還元され、一般のα,λ ≠ 0では宇宙定数を含む完全なGRに還元される。
• 2形式場を統合することで純粋な接続形式が得られ、$\mathcal{L}_{\text{GR}}[A] = \frac{\alpha}{2\lambda(\lambda - 3\alpha)}\left(\text{Tr}(\sqrt{F^i \wedge F^j})\right)^2 + \frac{1}{2\lambda}F^i \wedge F^i$ が得られ、GRの力学が確認される。
• パラメータλは宇宙定数を制御し、αは位相的項を制御する。ニュートン定数は単位に設定されている。
• λ→0の極限では、曲率に自己双対でない条件が強制され、自己双対でない重力理論の極限が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ乗数場を必要とせず、宇宙定数を含む完全なGRの力学を捉えることのできる一般相対性理論の一次形式ラグランジアンを構築できるか？
• RQ2 2形式場に非多項式的で平方根構造を含む項が、GRの構造およびその変形とどのように関係するか？
• RQ3 自己双対でない重力理論のセクターが、完全なGRおよび位相的重力理論を含むより広いラグランジアン枠組みに自然に埋め込まれるか？
• RQ4 同一の場のセットを用いて、位相的および自己双対でない重力セクターを統一的に記述する一貫した方法はあるか？
• RQ5 この新しいラグランジアン枠組みは、自己双対ヤン・ミルズ理論の既知のツイスター作用に類似した、完全なGRのツイスター記述を可能にするか？

主な発見

• 提案されたラグランジアン $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A]$ は、パラメータαとλが一般に非ゼロのとき、非ゼロの宇宙定数と位相的項を含む一般相対性理論を記述する。
• α=0のとき理論は既知の位相的場理論に還元され、λ=0のとき自己双対でない重力理論に還元され、これらの極限の間を滑らかに.interpolate することが確認された。
• 2形式場を統合して得られた純粋な接続形式は、宇宙定数を含むGRの既知の純粋接続作用と一致し、一貫性が確認された。
• 純粋な接続ラグランジアンにおけるλ→0の極限は、曲率行列の固有値が退化する場合に限り発散を避けることができ、これは自己双対でない条件に対応する。
• ラグランジアンの構造は、自己双対ヤン・ミルズ理論が自己双対2形式場の二次項によって変形されることに類似している。
• この新しい形式は、自己双対でない重力理論の統合的構造を出発点とし、変形項を加えることで完全なGRのツイスター記述への道筋を開く。ヤン・ミルズ理論におけるMHV規則に類似した構造である。