[論文レビュー] New general integral inequalities for some GA-convex and quasi-geometrically convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝リウビル分数階積分に関する新しい恒等式を導入し、GA-s-凸、準幾何的凸、および(s,m)-GA-凸関数に対する一般化された積分不等式を確立する。この恒等式と分数階微積分の性質を活用することで、ヘルメート＝ハダマール型、オストロフスキー型、シンプソン型不等式の新たな境界を導出し、古典的な結果を分数階積分を用いてより広いクラスの凸関数へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, the author introduces the concept of the quasi-geometrically convex and defines a new identity for fractional integrals. By using of this identity, author obtains new estimates on generalization of Hadamard, Ostrowski and Simpson type inequalities for GA-s-convex, quasi-geometrically convex and (s,m)-GA-convex functions via Riemann Liouville fractional integral.

研究の動機と目的

• 対数変換および指数関数的変換を含む分数階積分に関する新しい恒等式を導入すること。
• 標準的であるヘルメート＝ハダマール、オストロフスキー、シンプソンの不等式を、GA-凸性および準幾何的凸性を有する関数へと拡張すること。
• 関数が(s,m)-GA-凸性を満たす場合に、リーマン＝リウビル分数階積分を用いてこれらの不等式を一般化すること。
• 導関数にpノルムの仮定をおくことで、積分近似の鋭い誤差境界を提供すること。
• 特殊な凸関数クラスにおける分数階積分不等式の既存結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 対数的累乗および $ f \circ \exp $ の分数階積分を含む、新たな関数的表現 $ I_f(x, \lambda, \alpha, a, b) $ を定義する。
• 対数変換を用いたリーマン＝リウビル分数階積分作用素 $ J_{a^+}^\alpha $ および $ J_{b^-}^\alpha $ を利用する。
• 累乗平均の不等式およびホルダーの不等式を用いて、積分平均と関数値の差を評価する。
• 標準的凸性の一般化として、準幾何的凸関数および (s,m)-GA-凸関数の概念を導入する。
• 導関数 $ |f'(x)|^q \leq M $ または $ |f'(x)|^q \leq C $ （$ x \in [a,b] $）に対する仮定を用いて不等式を導出する。
• 変数変換 $ u = \exp(t) $ を用いて、元の不等式を対数領域に変換し、分数階微積分の技法の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GA-s-凸関数に対して、分数階積分を用いてどのようにヘルメート＝ハダマール型不等式を一般化できるか？
• RQ2 導関数が $ L^q $-ノルムで有界である場合、オストロフスキー型不等式の最適な境界は何か？
• RQ3 分数階積分を用いて、シンプソン型不等式は準幾何的凸関数および (s,m)-GA-凸関数へどのように拡張できるか？
• RQ4 $ \lambda \in [0,1] $ のパラメータが重み付き平均と分数階積分近似をどのようにバランスさせるか？
• RQ5 対数的および累乗重み付き凸性を有する関数の分数階積分近似に対して、鋭い誤差推定値を導出できるか？

主な発見

• 分数階積分に関する新しい恒等式が確立され、これによりGA-s-凸および準幾何的凸関数に対する一般化された不等式が導出可能となった。
• GA-凸関数および $ \alpha > 0 $ に対して、不等式 $$ f(\sqrt{ab}) \leq \frac{\Gamma(\alpha+1)}{2(\ln \frac{b}{a})^\alpha} \left[ J_{(\ln a)^+}^\alpha (f \circ \exp)(\ln b) + J_{(\ln b)^-}^\alpha (f \circ \exp)(\ln a) \right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} $$ が成り立つ。
• $ \lambda = \frac{1}{3} $ の場合、シンプソン型誤差境界は $$ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} A_1^{1-1/q}(\alpha, \frac{1}{3}) \left( \cdots \right) $$ となり、$ C_i $ の係数に明示的な依存関係を示す。
• $ \lambda = 0 $ の場合、オストロフスキー型境界は $$ \leq \frac{mM}{(\alpha+1)^{1-1/q}} \left[ a^m (\ln \frac{x}{a})^{\alpha+1} (C_1 + m C_2)^{1/q} + b^m (\ln \frac{b}{x})^{\alpha+1} (C_3 + m C_4)^{1/q} \right] $$ となる。
• $ \lambda = 1 $ の場合、境界は $$ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} \left( \frac{\alpha}{\alpha+1} \right)^{1-1/q} \left( \cdots \right) $$ となり、$ \alpha $ が大きいほど収束が改善されることが示された。
• 結果として、古典的不等式が一般化され、導関数の $ L^q $-可積分性の下で、より鋭い境界を持つ分数階設定へと拡張された。