[論文レビュー] New Generalization of Eulerian polynomials and their applications

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素数 $a \in \mathbb{C}$ および正の実数 $b \in \mathbb{R}^+$ をパラメータとする、Eulerian多項式の新しい2パラメータ一般化を、指数型母関数を用いて定義する。この一般化は、poly-logarithm、Bernstein多項式、Bernoulli数およびEuler数、Genocchi数、Euler-zeta関数との関係を確立する。主な結果として、$a = -1$ におけるWittの公式が得られ、$p$-adicフェルミオン的積分と関連づけられ、負の整数における補間が可能になる。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce Eulerian polynomials with a and b parameters and give the definition of them. By using the definition of generating function for our polynomials, we derive some new identities in Theory of Analytic Numbers. Also, we give relations between Eulerian polynomials with a and b parameters, Bernstein polynomials, Poly-logarithm function, Bernoulli numbers and Euler numbers. Moreover, we see that our polynomials at a =-1 are related to Euler-Zeta function at negative inetegers. Finally, we get Witt's formula for new generalization of Eulerian polynomials which we express in this paper.

研究の動機と目的

• 複素数 $a$ と正の実数 $b$ をパラメータとする、Eulerian多項式の新しい2パラメータ族への拡張を目的とする。
• 一般化された多項式と、poly-logarithm、Bernstein多項式、zeta関数などの特殊関数との関係を調査すること。
• Bernoulli数、Euler数、Genocchi数との明示的関係式を導出すること。
• $a = -1$ における多項式の $p$-adicフェルミオン的積分表現（Wittの公式）を確立すること。
• Euler-zeta関数を用いて、負の整数における多項式の補間を提供すること。

提案手法

• 指数型母関数 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{1-a}{b^{t(1-a)} - a}$ を用いて、一般化されたEulerian多項式 $\mathcal{A}_n(a,b)$ を定義する。
• 母関数技法を用いて、poly-logarithm、Bernstein多項式、第二種Stirling数に関する恒等式を導出する。
• 級数展開と積分表現を用いて、一般化された多項式と古典的特殊数との関係を確立する。
• $p$-adicフェルミオン的積分を適用し、$\mathcal{A}_n(-1,b)$ に対するWittの公式を導出する。積分は $\int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$ を用いる。
• Euler-zeta関数 $\zeta_E(s) = 2\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^s}$ を用いて、$\mathcal{A}_n(-1,b)$ を $2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$ として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eulerian多項式は、2つのパラメータ $a$ と $b$ を用いてどのように一般化され、その解析的・算術的性質が拡張されるか？
• RQ2 新しい一般化されたEulerian多項式と、poly-logarithm や Bernstein多項式などの古典的特殊関数との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 一般化された多項式は、明示的関係式によってBernoulli数、Euler数、Genocchi数と関連づけられるか？
• RQ4 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ の $p$-adic $\mu_{-1}$-積分表現は何か？ そして、それがWittの公式をどのように導くか？
• RQ5 $a = -1$ における値 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ は、負の整数におけるEuler-zeta関数とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化されたEulerian多項式は、$\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} (1 - 2^{n+1}) B_{n+1}}{n+1}$ を満たし、Bernoulli数と関連づけられる。
• 多項式は $a = -1$ において、$\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} G_{n+1}}{n+1}$ を満たし、$G_n$ をGenocchi数として、Genocchi数と関連づけられる。
• 明示的な補間公式が導出された：$\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$ であり、多項式が負の整数におけるEuler-zeta関数と関連づけられる。
• Wittの公式が確立された：$\mathcal{A}_n(-1,b) = (\ln b)^n 2^n \int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$ であり、$p$-adic積分表現が得られた。
• 生成関数 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(-1,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{b^{2t} + 1}$ が $p$-adicフェルミオン的積分から導出され、Wittの公式の妥当性が確認された。
• 一般化された多項式は、$\sum_{j=0}^\infty (-1)^j e^{jt \ln b}$ を含む生成関数を満たし、級数恒等式 $\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^{n+1} (\ln b)^n \sum_{j=1}^\infty (-1)^j j^n$ が得られた。