[論文レビュー] New inversion methods for the single/multi-shape CLD-to-PSD problem with spheroid particles

Lucas Brivadis, Ludovic Sacchelli|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Groundwater flow and contamination studies参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、球状粒子を含む結晶化プロセスにおける弦長分布（CLD）から粒子径分布（PSD）を再構築するための新しい逆問題解法を提案する。単一形状系では、病的逆問題を安定化させるためにチホノフ正則化を適用する。多様形状系（球体と細長い回転楕円体）では、バッチ結晶化モデル下で収束性が保証された、バックアンドフォアワードニーディング（BFN）に基づく観測者アルゴリズムを導入し、共有CLD測定値からの頑健なPSD推定を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we express the Chord Length Distribution (CLD) measure associated to a given Particle Size Distribution (PSD) when particles are modeled as suspended spheroids in a reactor. Using this approach, we propose two methods to reconstruct the unknown PSD from its CLD. In the single-shape case where all spheroids have the same shape, a Tikhonov regularization procedure is implemented. In the multi-shape case, the measured CLD mixes the contribution of the PSD associated to each shape. Then, an evolution model for a batch crystallization process allows to introduce a Back and Forth Nudging (BFN) algorithm, based on dynamical observers. We prove the convergence of this method when crystals are split into two clusters: spheres and elongated spheroids. These methods are illustrated with numerical simulations.

研究の動機と目的

• 非球形粒子、特に回転楕円体を含む状況下で、弦長分布（CLD）から正確な粒子径分布（PSD）を再構築する課題に対処すること。
• 測定ノイズに強く、PSD回復が可能となるように、単一形状結晶化における病的逆問題をチホノフ正則化により安定化すること。
• 同じCLD測定値から複数の異なるPSDを推定可能な、新規な観測者ベースの手法を、形状が異なる粒子（例：球体と細長い回転楕円体）を含む多様形状系に開発すること。
• バッチ結晶化フレームワーク下で、2クラスタの粒子形状（球体（回転楕円体形状パラメータη=1）と細長い回転楕円体（η>1））に対して、バックアンドフォアワードニーディング（BFN）アルゴリズムの収束性を証明すること。
• 粒子形状の多様性を考慮したCLD-PSD逆問題の理論的・数値的基盤を提供し、産業的結晶化プロセス制御の向上を図ること。

提案手法

• 均一な方位分布下での3次元幾何学的構成とランダムな弦選択を用いて、回転楕円体粒子のPSDからCLDを計算する新しい解析的モデルを導出する。
• 単一形状の回転楕円体粒子に対して、PSDとCLDの1対1対応関係を確立し、逆問題の定式化を可能にする。
• 単一形状系の逆問題解法を安定化させるためにチホノフ正則化を適用し、測定ノイズに対して頑健な性能を確保する。
• 複数のPSDを1つの共有CLDから推定可能な動的観測者フレームワークを、バックアンドフォアワードニーディング（BFN）アルゴリズムを用いて導入する。
• バッチ結晶化の時間発展モデルを観測者設計の根拠とし、時間的整合性と収束性を保証する。
• H²正則性と境界条件の下で、2クラスタ系（球体（η=1）と細長い回転楕円体（η>1））に対して、BFNアルゴリズムの収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子形状が球形でない場合、正則化手法を用いて、回転楕円体粒子のCLDからPSDへの安定的かつ正確な逆問題が達成可能か？
• RQ2 すべての粒子が同じ回転楕円体形状である場合、測定ノイズが存在する中で、逆問題をどのようにして頑健に解けるか？
• RQ3 反応器内に異なる形状（例：球体と細長い回転楕円体）の粒子が存在する場合、1つの混合CLD測定値から複数の異なるPSDを推定することは可能か？
• RQ4 バッチ結晶化の文脈下で、バックアンドフォアワードニーディング（BFN）のような動的観測者ベース手法が、多様形状CLD-PSD逆問題に対して理論的に収束することが保証できるか？
• RQ5 粒子形状が異なり、CLD測定値が共有される状況下で、再構築されたPSDの一意性と安定性を保証する数学的条件は何か？

主な発見

• 単一形状の回転楕円体粒子に対して、PSDからCLDへの写像は1対1であることが確認され、一意な逆問題の可能性が裏付けられた。
• チホノフ正則化は、単一形状系において逆問題解法を効果的に安定化させ、測定ノイズへの感受性を低減した。
• BFN観測者アルゴリズムは、粒子が2つのクラスタ（球体と細長い回転楕円体）に分かれている多様形状系において、真のPSDに収束することが確認された。
• 収束性はH²正則性と境界条件の下で証明され、その証明は輸送方程式の固有値解析とフーリエ係数の直交性に依拠している。
• 数値シミュレーションにより理論的予測が確認され、単一形状および多様形状の両ケースにおいて、正確なPSD再構築が可能であることが示された。
• 本手法により、FBRMやBlazeMetrics型のCLD測定値から、粒子形状が多形的であっても信頼性の高いPSD推定が可能となった。