[論文レビュー] New irreducible tensor product modules for the Virasoro algebra

Xiangqian Guo, Xuewen Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、既知の非可約最高ウェイトモジュール $V(\theta,h)$ や $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ と、非可約な非重みモジュール $\Omega(\lambda,\alpha,h)$ のテンソル積を用いて、新しい非可約非重みVirasoroモジュールを構成し、その可約性および同型条件を必要十分条件として確立する。主な貢献は、これらのモジュールが既存の非可約Virasoroモジュールと同型でないことを証明し、新たなモジュールであることを示したことにある。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a class of Virasoro modules by taking tensor products of the irreducible Virasoro modules $Ω(λ,α,h)$ defined in \cite{CG}, with irreducible highest weight modules $V(θ,h)$ or with irreducible Virasoro modules Ind$_θ(N)$ defined in \cite{MZ2}. We obtain the necessary and sufficient conditions for such tensor product modules to be irreducible, and determine the necessary and sufficient conditions for two of them to be isomorphic. These modules are not isomorphic to any other known irreducible Virasoro modules.

研究の動機と目的

• 既知の非可約モジュールのテンソル積を通じて、新しいクラスの非可約非重みVirasoroモジュールを構成すること。
• このようなテンソル積モジュールが非可約となる必要十分条件を特定すること。
• 二つのこのようなテンソル積モジュールが同型となる条件を確立すること。
• 構成されたモジュールが、他の既知の非可約Virasoroモジュールと同型でないことを証明し、それらが新たなモジュールであることを示すこと。
• テンソルモジュールをVirasoro代数の部分代数からの誘導モジュールとして再定式化し、構造的洞察をもたらすこと。

提案手法

• $d_m$ が $f(t)s^i$ に作用する特定の作用を持つ自由 $\mathbb{C}[t,s]$-モジュールとして、Virasoroモジュール $\Omega(\lambda,\alpha,h)$ を定義する。
• $\Omega(\lambda,\alpha,h)$ を、Virasoro代数の正部分に局所有限な非可約最高ウェイトモジュール $V(\theta,h)$ または $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ とテンソル積をとる。
• PBW定理を用いて、誘導モジュール $\mathrm{Ind}_{\theta,\lambda}(\mathbb{C}[t]_{\alpha,h,\mathbf{a}})$ の基底を構成し、それらをテンソル積モジュールの基底と比較する。
• 誘導モジュールからテンソル積モジュールへの線形写像 $\phi$ を定義し、モジュール準同型および全単射性を検証することで、それがVirasoroモジュールの同型であることを証明する。
• 既知の非可約性基準（$\deg(h)=1$ かつ $\alpha \neq 0$ のとき $\Omega(\lambda,\alpha,h)$ が非可約）および $V_{\mathbf{a},\theta}$ の非可約性基準（$a_{2n-1}^2 + a_{2n}^2 \neq 0$ のとき）を用いて、テンソル積の非可約性を特定する。
• 基底要素の全順序を用いて、同型写像 $\phi$ の単射性を証明し、テンソル積モジュールが非可約であるための必要十分条件が、両因子が非可約であることであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積 $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes V(\theta,h)$ が非可約となる条件は何か？
• RQ2 テンソル積 $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes \mathrm{Ind}_\theta(N)$ が非可約となる条件は何か？
• RQ3 二つのこのようなテンソル積モジュールが同型となるための必要十分条件は何か？
• RQ4 これらの新しいテンソル積モジュールは、既存の非可約Virasoroモジュールと同型であるか？
• RQ5 テンソル積モジュールは、Virasoro代数の部分代数からの誘導モジュールとして実現可能か？

主な発見

• テンソル積 $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes V(\theta,h)$ は、$\deg(h) = 1$ かつ $\alpha \neq 0$ であり、かつ $V(\theta,h)$ が非可約であるときに限り非可約である。
• テンソル積 $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes \mathrm{Ind}_\theta(N)$ は、$\deg(h) = 1$、$\alpha \neq 0$、かつ $a_{2n-1}^2 + a_{2n}^2 \neq 0$ のときに限り非可約である。
• 非可約テンソル積モジュール $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes V(\theta,h)$ が同型であるための必要十分条件は、パラメータ $\lambda, \alpha, h, \theta$ がモジュール構造から導かれる特定の同値条件を満たすことである。
• 構成されたモジュールは、他の既知の非可約Virasoroモジュールと同型でないことが示され、それらの新規性が確立された。
• テンソル積モジュール $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes V(\mathbf{a},\theta)$ は、誘導モジュール $\mathrm{Ind}_{\theta,\lambda}(\mathbb{C}[t]_{\alpha,h,\mathbf{a}})$ と同型であり、これによりこれらのモジュールの新たな実現が得られた。
• $\mathrm{Ind}_{\theta,\lambda}(\mathbb{C}[t]_{\alpha,h,\mathbf{a}})$ と $\Omega(\lambda,\alpha,h) \otimes V(\mathbf{a},\theta)$ の間の同型 $\phi$ は、基底を保存するVirasoro-equivariant写像として確立され、単射性および全射性は単項式の全順序を用いて証明された。