[論文レビュー] New MDS codes with small sub-packetization and near-optimal repair bandwidth

Venkatesan Guruswami, Ankit Singh Rawat|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、小さなサブパケット化レベル ℓ = O(n−k) と近似的に最適な修復帯域幅を備えたMDSベクタ符号の新規構成を提示する。具体的には、任意の整数 t≥1 に対して、カットセット境界の (1+1/t) 倍以内の修復帯域幅を達成する。符号は修復による転送（repair-by-transfer）メカニズムを用いて効率的な正確修復を実現し、修復ノードにおける計算オーバーヘッドを最小限に抑え、分散ストレージシステムへの実用的導入を可能にする。

ABSTRACT

An $(n, M)$ vector code $\mathcal{C} \subseteq \mathbb{F}^n$ is a collection of $M$ codewords where $n$ elements (from the field $\mathbb{F}$) in each of the codewords are referred to as code blocks. Assuming that $\mathbb{F} \cong \mathbb{B}^{\ell}$, the code blocks are treated as $\ell$-length vectors over the base field $\mathbb{B}$. Equivalently, the code is said to have the sub-packetization level $\ell$. This paper addresses the problem of constructing MDS vector codes which enable exact reconstruction of each code block by downloading small amount of information from the remaining code blocks. The repair bandwidth of a code measures the information flow from the remaining code blocks during the reconstruction of a single code block. This problem naturally arises in the context of distributed storage systems as the node repair problem [4]. Assuming that $M = |\mathbb{B}|^{k\ell}$, the repair bandwidth of an MDS vector code is lower bounded by $\big(\frac{n - 1}{n - k}\big)\cdot \ell$ symbols (over the base field $\mathbb{B}$) which is also referred to as the cut-set bound [4]. For all values of $n$ and $k$, the MDS vector codes that attain the cut-set bound with the sub-packetization level $\ell = (n-k)^{\lceil{{n}/{(n-k)}} ceil}$ are known in the literature [23, 35]. This paper presents a construction for MDS vector codes which simultaneously ensures both small repair bandwidth and small sub-packetization level. The obtained codes have the smallest possible sub-packetization level $\ell = O(n - k)$ for an MDS vector code and the repair bandwidth which is at most twice the cut-set bound. The paper then generalizes this code construction so that the repair bandwidth of the obtained codes approach the cut-set bound at the cost of increased sub-packetization level. The constructions presented in this paper give MDS vector codes which are linear over the base field $\mathbb{B}$.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおけるMDS符号のサブパケット化レベル ℓ と修復帯域幅のトレードオフを解消すること。
• ℓ を最小限に抑えつつ、近似的に最適な修復帯域幅を達成するMDS符号の構築。理想は O(n−k) である。
• 修復による転送をサポートすることで、実用的導入を可能にし、修復時の接触ノードにおける計算コストを最小限に抑えること。
• 構成を一般化し、サブパケット化がわずかに増加する代わりに、修復帯域幅をカットセット境界に近づけること。

提案手法

• 特定のスパarsityパターンを持つ構造化されたパリティーチェック行列に基づく組合せ的設計を用いて、効率的な修復を可能にする。
• 符号記号を段階に分割し、他のノードから有限数の記号をダウンロードする線形制約を用いて、欠落した記号を回復する。
• 修復プロセスは2段階に分けられる：段階1では (n−1)r^{t−1} 個の記号をダウンロードし、段階2では (r−1)r^{t−1}⌊s/t⌋ 個以下の記号をダウンロードする。ここで r = n−k である。
• 修復帯域幅は (1+1/t)(n−1)/r · ℓ で抑えられ、これはカットセット境界の (1+1/t) 倍である。
• 符号は基本体 𝔹 上で線形であり、パリティーチェック行列の組合せ的構造に依存してMDS性を保証する。
• 一般化された場合、サブパケット化レベルを (d−k+1)^t に増加させることで、修復帯域幅をカットセット境界に近づけることができる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブパケット化レベル ℓ = O(n−k) を満たすMDS符号を、近似的に最適な修復帯域幅を維持しながら構築可能か？
• RQ2 小さな ℓ を有するMDS符号で、修復による転送を実現するにはどうすればよいか？ これにより、ノード修復時の計算コストを低減できるか？
• RQ3 カットセット境界に近づける際の、サブパケット化レベルと修復帯域幅のトレードオフは何か？
• RQ4 構成を d < n−1 の接触ノード数に対しても一般化可能か？ すなわち、d = n−1 の場合に限らないか？
• RQ5 MDS性と修復効率を保持したまま、必要な基本体サイズを小さくすることは可能か？

主な発見

• 提案された符号は、近似的に最適な修復帯域幅を有するMDS符号において最小限のサブパケット化レベル ℓ = O(n−k) を達成する。
• 修復帯域幅は最大でカットセット境界の (1+1/t) 倍であり、t はトレードオフを制御する設計パrameterである。
• t=1 の場合、修復帯域幅は最大でカットセット境界の2倍であり、小さな ℓ を有する既存の構成と比較して顕著な改善を示す。
• 構成は修復による転送をサポートしており、接触ノードでの計算が不要であるため、効率性が向上する。
• 符号は基本体 𝔹 上で線形であり、パリティーチェック行列の注意深く設計された組合せ的構造のおかげでMDS性を維持する。
• 本手法は任意の d < n−1 に一般化可能であり、サブパケット化レベル (d−k+1)^t とし、t が増加するにつれて修復帯域幅がカットセット境界に近づく。