[論文レビュー] New mirror pairs of Calabi-Yau orbifolds

Alan Stapledon|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Gorenstein多様体Zに作用する有限群Γの複素表現環R(ρ)値をとる等変ストリング的不変量$ E_{\text{st},\rho}(Z;u,v) $を導入し、反射的ポリトープへの群作用を用いて、Calabi-Yau軌道体の表現論的バージョンのBorisov-Batyrev鏡映性を確立する。等変ストリング的不変量と組合せ論的技法を用いて、任意の部分群Γ ⊆ A₅がフェルマー5次超曲面Xに作用する場合、Xおよびその鏡像のΓ-Hilbertスキームが、明示的に計算された鏡像ホッジダイアモンドを持つ滑らかでCalabi-Yauな3次元多様体であることを証明する。

ABSTRACT

We prove a representation-theoretic version of Borisov-Batyrev mirror symmetry, and use it to construct infinitely many new pairs of orbifolds with mirror Hodge diamonds, with respect to the usual Hodge structure on singular complex cohomology. We conjecture that the corresponding orbifold Hodge diamonds are also mirror. When $X$ is the Fermat quintic in $¶^4$, and $ ilde{X}^*$ is a $\Sym_5$-equivariant, toric resolution of its mirror $X^*$, we deduce that for any subgroup $Γ$ of the alternating group $A_5$, the $Γ$-Hilbert schemes $Γ$-$\Hilb(X)$ and $Γ$-$\Hilb( ilde{X}^*)$ are smooth Calabi-Yau threefolds with (explicitly computed) mirror Hodge diamonds.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau軌道体のBorisov-Batyrev鏡映性の表現論的バージョンを証明すること。
• 反射的ポリトープへの群作用を用いて、鏡像ホッジダイアモンドを持つ無限に多くの新しい軌道体の鏡像対を構成すること。
• Γ ⊆ SL(M)のとき、商空間X/ΓとX*/Γの軌道体ホッジ数のMcKay型対応を確立すること。
• 鏡像超曲面のΓ-Hilbertスキームが、鏡像ホッジダイアモンドを持つ滑らかなCalabi-Yau3次元多様体をもたらすことを確認すること。
• 深いつながりのない交差コホモロジーの結果に依存しない、等変ストリング的不変量の純組合せ的証明を提供すること。

提案手法

• 有限群ΓがGorenstein多様体Zに作用する場合の、複素表現環R(ρ)値をとる等変ストリング的不変量$ E_{\text{st},\rho}(Z;u,v) $を導入する。
• 錐と表現論的道具を用いて、トーラス内の非退化超曲面の等変ホッジ＝デルニーニ多項式の一般公式（定理4.10）を導出する。
• 等変ストリング的不変量の公式（命題5.5）と反射的ポリトープへの簡略化（推論5.7）を用い、$ E_{\text{st},\rho}(X;u,v) $と$ E_{\text{st},\rho}(X^*;u,v) $を$ (-u)^{d-1} \text{det}(\rho) $を介して関連付ける。
• 主恒等式$ E_{\text{st},\rho}(X;u,v) = (-u)^{d-1} \text{det}(\rho) \times E_{\text{st},\rho}(X^*;u^{-1},v) $を適用し、コホモロジーにおける表現論的鏡映性を導出する。
• Γ ⊆ A₅がフェルマー5次超曲面とその鏡像に作用する場合、Γ-Hilbertスキームによる崩壊的解消を構成し、滑らかさとCalabi-Yau構造を保証する。
• A₅の非自明な真部分群すべてについてホッジダイアモンドの鏡像対称性を検証し、Γ = ℤ₂, ℤ₂×ℤ₂, ℤ₃, ℤ₅, A₄, S₃, D₅について明示的なホッジダイアモンド表を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変ストリング的不変量を用いて、Calabi-Yau軌道体の表現論的バージョンの鏡映性を確立できるか？
• RQ2 ρ → SL(M)のとき、$ \tilde{X}/\rho $と$ \tilde{X}^*/\rho $は、特異であっても鏡像ホッジダイアモンドを持つだろうか？
• RQ3 A₅の部分群Γに対して、鏡像超曲面のΓ-Hilbertスキームが、鏡像ホッジダイアモンドを持つ滑らかなCalabi-Yau3次元多様体になるだろうか？
• RQ4 交差コホモロジーに依存しないで、ストリング的不変量の鏡映性関係を組合せ論的に証明できるか？
• RQ5 ρ → SL(M)のとき、$ \tilde{X}/\rho $と$ \tilde{X}^*/\rho $の軌道体ホッジ数$ h^{p,q}_{\text{orb}} $はMcKay型双対性を満たすだろうか？

主な発見

• 本稿は、表現論的鏡映性恒等式$ E_{\text{st},\rho}(X;u,v) = (-u)^{d-1} \text{det}(\rho) \times E_{\text{st},\rho}(X^*;u^{-1},v) $を証明する。これは、任意の有限群Γが反射的ポリトープに作用する場合に成立する。
• フェルマー5次超曲面Xとその鏡像$ \tilde{X}^* $に対して、Γ ⊆ A₅のすべての部分群について、Γ-Hilbertスキーム$ \text{Hilb}_\rho(X) $と$ \text{Hilb}_\rho(\tilde{X}^*) $は、明示的に計算された鏡像ホッジダイアモンドを持つ滑らかなCalabi-Yau3次元多様体である。
• Γが自由に作用する場合（例：Γ = ℤ₅）、商空間$ X/\rho $と$ \tilde{X}^*/\rho $は滑らかなCalabi-Yau多様体であり、鏡像ホッジダイアモンドを持つ。これはBatyrev-Borisovの構成に含まれない新しい鏡像対を提供する。
• Γ ⊆ A₅のとき、軌道体ホッジ数は$ h^{p,q}_{\text{orb}}(\tilde{X}/\rho) = h^{d-1-p,q}_{\text{orb}}(\tilde{X}^*/\rho) $を満たし、非アーベル軌道体特異点に対してもMcKay型対応が確認される。
• Γ = ℤ₂, ℤ₂×ℤ₂, ℤ₃, ℤ₅, A₄, S₃, D₅について、ホッジダイアモンドを明示的に計算し、それぞれ$ h^{1,1} = 59, 41, 49, 21, 29, 33, 19 $、$ h^{2,0} = h^{1,0} = 1, 0 $であることを確認し、鏡像対称性が成立することを裏付ける。
• 結果は3次元立方体曲面の場合（d=3）へも拡張可能であり、$ X/\rho $と$ \tilde{X}^*/\rho $は、$ h^{1,0}_{\text{orb}} = 0 $、$ h^{2,0}_{\text{orb}} = 1 $、$ h^{1,1}_{\text{orb}} = 20 $ の軌道体ホッジダイアモンドを持ち、Γ-Hilbertスキームは崩壊的解消である。