[論文レビュー] New moments criteria for convergence towards normal product/tetilla laws

Ehsan Azmoodeh, Dario Gasbarra|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、それぞれ第二ウィENERおよびウィグナークラウドにおける正規積およびテティラ分布への収束に関する、新たなモーメント基準を確立する。分布収束（およびワッサーシュタイン-2距離）が、ある r ≥ 3 に対して第4モーメントおよびより高い偶数モーメントの収束と同値であることを証明し、ガウス型でない極限分布への古典的および自由な第4モーメント定理の一般化を達成する。

ABSTRACT

In the framework of classical probability, we consider the normal product distribution $F_\infty \sim N_1 imes N_2$ where $N_1, N_2$ are two independent standard normal random variable, and in the setting of free probability, $F_\infty \sim \left( S_1 S_2 + S_2 S_1 ight)/\sqrt{2}$ known as {\it tetilla law} \cite{d-n}, where $S_1, S_2$ are freely independent normalized semicircular random variables. We provide novel characterization of $F_\infty$ within the second Wiener (Wigner) chaos. More precisely, we show that for any generic element $F$ in the second Wiener (Wigner) chaos with variance one the laws of $F$ and $F_\infty$ match if and only if $μ_4 (F)= 9 \, (\mbox{resp. }φ(F^4)=2.5)$, and $μ_{2r}(F)= ((2r-1)!!)^2 \, (\mbox{resp. }φ(F^{2r})=φ(F^{2r}_\infty ))$ for some $r \ge 3$, where $μ_r (F)$ stands for the $r$th moment of the random variable $F$, and $φ$ is the relevant tracial state. We use our moments characterization to study the non central limit theorems within the second Wiener (Wigner) chaos and the target random variable $F_\infty$. Our results generalize the findings in Nourdin \& Poly \cite{n-p-2w}, Azmoodeh, et. al \cite{a-p-p} in the classical probability, and of Deya \& Nourdin \cite{d-n} in the free probability setting.

研究の動機と目的

• 第二ウィナーおよびウィグナークラウド内における正規積およびテティラ分布の完全な特徴付けを、高次モーメントを用いて行う。
• 古典的および自由な第4モーメント定理を、正規分布でない極限分布（例：正規積分布およびテティラ分布）へ一般化する。
• 第二クラウドに属する列に対して、ワッサーシュタイン-2距離における定量的収束速度を確立する。
• 第4モーメントが、収束基準においてより高い偶数モーメントに置き換え可能かどうかを調査する。

提案手法

• 独立同分布のガウスまたは半円型確率変数の正規直交基底を用いて、第二ウィナーおよびウィグナークラウドの要素のスペクトル表現を導出する。
• マリヤンキン計算およびキュムラント展開を用いて、クラウド確率変数のモーメントとそのクラウド展開における係数との関係を確立する。
• 関数再配分のハーディー＝リトルウッドの不等式を適用し、モーメント差の観点からワッサーシュタイン距離の上限を導出する。
• 分布収束、L^p 収束、L^2 収束、ワッサーシュタイン-2距離収束、および特定のモーメントの収束の間の同値性を確立する。
• マコフ三重項およびハイパーコントラクトニティを用いて、モーメント収束と L^2 収束を結びつける。
• 単位分散を持つ第二クラウドの列に対して、極限分布への収束が、第4モーメントおよびある r ≥ 3 に対してより高い偶数モーメント（μ₂ᵣ(F_n) → μ₂ᵣ(F_∞)）の収束と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規分布への収束に関する第4モーメント基準を、正規分布でない極限分布（例：正規積分布およびテティラ分布）へ拡張可能か？
• RQ2 ある r ≥ 3 に対して第4モーメントおよびより高い偶数モーメントの収束が、正規積またはテティラ分布への分布収束を十分に保証するか？
• RQ3 収束基準において第4モーメント条件を、2つの異なる r, s ≥ 3（r ≠ s）に対するより高い偶数モーメントの収束に置き換え可能か？
• RQ4 第二ウィナーおよびウィグナークラウドにおけるワッサーシュタイン-2距離収束とモーメント収束の関係は何か？
• RQ5 クラウド確率変数のスペクトル係数は、そのモーメントおよび収束挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 単位分散を持つ第二ウィナークラウドの列 {F_n} に対して、F_∞ ∼ N₁×N₂ への分布収束は、μ₄(F_n) → 9 およびある r ≥ 3 に対して μ₂ᵣ(F_n) → ((2r−1)!!)² と同値である。
• 自由確率の設定において、F_∞ ∼ (S₁S₂ + S₂S₁)/√2 への分布収束は、φ(F₄ⁿ) → 2.5 およびある r ≥ 3 に対して φ(F₂ᵣⁿ) → φ(F₂ᵣ∞) と同値である。
• ワッサーシュタイン-2距離 d_W₂(F_n, F_∞) → 0 は、分布収束、L² 収束、および係数列 λ_n の ℓ² ノルムが F_∞ のそれへ収束することと同値である。
• ワッサーシュタイン-2距離は、第6モーメントと第4モーメントの差の平方根の定数倍で上から抑えられ、モーメント差と距離の間の定量的関係を確立する。
• 第二ウィナークラウドのハイパーコントラクトニティにより、L² 収束がすべての p ≥ 1 に対して L^p 収束を意味し、L^p 収束と L² 収束の同値性を裏付ける。
• 2つの異なる r, s ≥ 3（r ≠ s）に対するより高い偶数モーメントの収束が、分布収束を保証する十分条件であると仮説を提示する。