[論文レビュー] New p-adic hypergeometric functions and syntomic regulators

Masanori Asakura|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、p-進ポリガンマ関数と超幾何級数の積分変換を用いて構成された、対数型の新しいp-進超幾何関数を導入する。Dworkに類似したp-進合同関係を確立し、収束性を示し、これらの関数の特別値が、超幾何曲線、ファーマー曲線、および楕円曲線のシントミックリグレーターに現れることを示し、p-進L関数と関連づける。p-進Beilinson予想が予言する通り、これにより関連づけられる。

ABSTRACT

We introduce new p-adic convergent functions, which we call the p-adic hypergeometric functions of logarithmic type. The first main result is to prove the congruence relations that are similar to Dwork's. The second main result is that the special values of our new functions appear in the syntomic regulators for hypergeometric curves, Fermat curves and some elliptic curves. According to the p-adic Beilinson conjecture by Perrin-Riou, they are expected to be related with the special values of p-adic L-functions. We provide one example for this.

研究の動機と目的

• p-進対数関数の変形として、対数型の新しいp-進超幾何関数を定義し、それらを研究すること。
• Dworkの古典的結果に類似した、これらの関数に対するp-進合同関係を確立すること。
• これらの関数の特別値が代数的曲線上のシントミックリグレーターと関連することを結びつけること。
• p-進Beilinson予想に従い、特に楕円曲線およびファーマー曲線に対して、これらの特別値がp-進L値と一致することを検証すること。
• 有理数定数がpに依存しないように、リグレーター、特別値、p-進L関数を関連付ける明示的な例と予想を提示すること。

提案手法

• Diamondのp-進ポリガンマ関数を変更して、p-進ポリガンマ関数ψp(r)(z)を定義する。
• 関数Gₐ(t)を、p-進ポリガンマ項、Eulerの定数γp、対数項、および差Fₐ(t) − Fₐ′(tσ)の積分変換の組み合わせとして構成する。
• 新しいp-進超幾何関数を、比𝔽ₐ(σ)(t) = Gₐ(t)/Fₐ(t)として定義する。これはすべてのai = 1およびc = 1のとき、p-進対数関数を一般化する。
• 𝔽ₐ(σ)(t)がpnを法としてp-進合同関係を満たし、p-進的に収束することを証明する。
• 𝔽ₐ(σ)(t)が環ℤp⟨t, h(t)⁻¹⟩に属することを確立し、|h(α)|p = 1を満たすt = αにおける特別値が適切に定義されることを保証する。
• シントミックコhomologyとリグレーター写像を用いて、𝔽ₐ(σ)(t)の特別値をp-進Beilinson予想を通じて曲線のp-進L関数と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい対数型p-進超幾何関数は、古典的p-進超幾何関数のDworkに類似した合同関係を満たすか？
• RQ2 これらの新しい関数の特別値は、代数的曲線のシントミックコhomologyにおけるリグレーターとして表現可能か？
• RQ3 これらの特別値は、p-進Beilinson予想が予言するように、楕円曲線および超幾何曲線のp-進L関数と関連づけられるか？
• RQ4 特別値とp-進L値を関連付ける有理数定数Cₐは何か？また、これらはpに依存しないか？
• RQ5 どの有理数パラメータaに対して、関連するK₂記号が整数的となり、リグレーターとL関数の関係の有効性が保証されるか？

主な発見

• 新しいp-進超幾何関数𝔽ₐ(σ)(t)は、pnを法として合同関係を満たし、p-進的収束を保証する。
• 3y² = 2x³ − 3x² + 1 − aで定義される楕円曲線Xₐに対して、a = 4のとき、特別値(1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a)は−1倍のp-進L値Lₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0)に等しい。
• Fermat曲線F₃,₃に対して、特別値(1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1)は、pに依存しない有理数定数Cを用いてLₚ(F₃,₃, ω⁻¹, 0)に比例する。
• 曲線F₂,₄*に対し、特別値(1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(1)は、pに依存しない有理数定数C′′を用いてLₚ(F₂,₄*, ω⁻¹, 0)に比例する。
• K₂記号が整数的であるとき、さまざまな楕円曲線に対して、関係(1 − pα⁻¹)𝔽ₐ(σ)(a) = CₐLₚ(Xₐ, ω⁻¹, 0)が成り立ち、Cₐ ∈ ℚ×はpに依存しない。
• 本稿では、a = 1/n（n ≡ 0,2 mod 6）などの明示的なaの族を提示し、K₂記号が整数的であることを示し、予想される関係の有効性を支持する。