[論文レビュー] New results concerning the stability of equilibria of a delay differential equation modeling leukemia

Anca Veronica Ion|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Chronic Myeloid Leukemia Treatments参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、慢性骨髄性白血病をモデル化する遅延微分方程式における均衡の安定性解析を是正・補完する。リャプノフ法と特徴方程式解析を用いて、局所的安定性およびホップ分岐の正確な条件を提示し、特に正の均衡点におけるパラメータ依存性と分岐閾値に関して、先行研究の誤りを是正する。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of stability of equilibrium solutions of a delay differential equation that models leukemia. The equation was previously studied in [5] and [6], where the emphasis is put on the numerical study of periodic solutions. Some stability results for the equilibria are also presented in these works, but they are incomplete and contain some errors. Our work aims to complete and to bring corrections to those results. Both Lyapunov first order approximation method and second Lyapunov method are used.

研究の動機と目的

• 先行研究 [5] および [6] で提示された白血病をモデル化する遅延微分方程式における均衡の安定性解析の不正確さを是正すること。
• モデルのゼロ均衡点および正の均衡点の完全かつ厳密な安定性解析を提供すること。
• 遅延 r、増殖率 k、およびヒル係数 n などのパラメータが安定性および分岐行動に与える影響を明確にすること。
• 線形化系の固有値解析とリャプノフ法を用いて、ホップ分岐および局所的安定性の正しい条件を確立すること。

提案手法

• 抽象的関数微分方程式の理論と [−r, 0] 上の連続関数空間を用いて、[−r, ∞) 上での有界解の存在および一意性を形式的に証明する。
• 均衡解は x₁ = 0 および x₂ = [(β₀/δ)(k−1)−1]^{1/n} として導出され、生物学的妥当性は r < r_max に依存する。
• 各均衡点まわりの線形化系は、B が均衡点およびパラメータに依存する特徴方程式 λ + B + δ − kB e^{−λr} = 0 を用いて解析される。
• 安定性は、固有値の実部の符号およびホップ分岐における第一リャプノフ係数に注目した第一および第二リャプノフ法を用いて評価される。
• 安定性の変化が生じる臨界遅延 r* は、関数 g(r) = T^{−1}(−(δ+B)r) − arccos((δ+B)/(kB)) を用いて符号変化を特定することで導出・解析される。
• ホップ分岐の条件は、固有値の遅延に関する微分係数が非ゼロであることと、第一リャプノフ係数が非ゼロであることの確認により確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 白血病遅延微分方程式モデルにおけるゼロ均衡点および正の均衡点の正しい安定性条件は何か？
• RQ2 なぜ [5] および [6] の安定性結果は不完全かつ誤りであるのか。特にヒル係数 n および遅延 r への依存性に関して。
• RQ3 B および δ + B の符号が正の均衡点の安定性に与える影響は何か。分岐行動にどのような意味を持つのか。
• RQ4 ホップ分岐が発生する正確な条件は何か。先行研究で提示された誤った条件とはどのように異なるのか。
• RQ5 パラメータ r は安定・不安定なダイナミクスへの遷移にどのように影響するのか。また、k = 2e^{−γr} はこのプロセスにおいて果たす役割は何か。

主な発見

• ゼロ均衡点 x₁ = 0 は、n とは無関係に k < 1 のときにかつそのときに限り安定であり、先行研究が n ∈ [0,1] のとき安定であると主張したことは誤りである。
• 正の均衡点 x₂ > 0 は r < r_max = −(1/γ)ln(½(1 + δ/β₀)) のときのみ存在し、これは δ/β₀ < 1 を要請する。
• 正の均衡点において、B の符号に依存して安定性が決まる。B > 0 のとき、β₀(k−1)/δ > 1 が成り立つと安定性が保証され、これは x₂ > 0 と同値である。
• B < 0 かつ δ + B > 0 のとき、安定性条件は r < arccos((δ + B)/(kB)) / ω₀ で与えられ、先行研究で誤って使用された √(k²B² − (δ + B)²) の代わりに正しい表現が得られた。
• 本稿は、[5] および [6] の安定性領域が誤った ω₀ の表現を用いているため誤りであると特定し、不正確な分岐閾値を導く原因となっていることを明らかにした。
• g(r*) = 0 かつ dμ/dα(α*) ≠ 0 を満たすとき、r* でホップ分岐が発生し、中心多様体上の第一リャプノフ係数の符号によって安定性が決定される。