[論文レビュー] Stability of equilibrium and periodic solutions of a delay equation modeling leukemia

Anca-Veronica Ion, Raluca-Mihaela Georgescu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Chronic Myeloid Leukemia Treatments参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、慢性骨髄性白血病をモデル化する遅延微分方程式におけるホップ分岐から生じる周期的解の安定性を分析する。中心多様体還元と正規形理論を用い、最初のリプシッツ係数を計算することで、遅延がホップ分岐の閾値を超えると周期的解が安定することを示し、パラメータに特化した数値シミュレーションにより確認された。

ABSTRACT

We consider a delay differential equation that occurs in the study of chronic myelogenous leukemia. After shortly reminding some previous results concerning the stability of equilibrium solutions, we concentrate on the study of stability of periodic solutions emerged by Hopf bifurcation from a certain equilibrium point. We give the algorithm for approximating a center manifold at a typical point (in the parameter space) of Hopf bifurcation (and an unstable manifold in the vicinity of such a point, where such a manifold exists). Then we find the normal form of the equation restricted to the center manifold, by computing the first Lyapunov coefficient. The normal form allows us to establish the stability properties of the periodic solutions occurred by Hopf bifurcation.

研究の動機と目的

• 慢性骨髄性白血病をモデル化する遅延微分方程式における非自明な平衡点からホップ分岐によって生じる周期的解の安定性を調査すること。
• ホップ分岐点近傍における中心多様体と不安定多様体を近似するためのアルゴリズムを開発すること。
• 中心多様体に制限された方程式の正規形を、最初のリプシッツ係数を用いて計算すること。
• ホップ分岐によって生じる周期的解の安定性特性を特定すること。

提案手法

• 研究では、ホップ分岐点近傍における無限次元の遅延微分方程式を、中心多様体理論を用いて有限次元系に還元する。
• 正規形理論を適用し、分岐する周期的解の安定性を決定する最初のリプシッツ係数を計算する。
• ベクトル場のテイラー展開における2次項のための連立方程式を解く手法を用い、特性方程式と固有値解析を組み合わせる。
• アルゴリズムは、記号計算を用いて中心多様体と正規形係数を計算し、w11(0)、w11(-r)、およびf21の明示的公式を提供する。
• 周期的解の安定性は、最初のリプシッツ係数の符号によって決定される：負であれば安定、正であれば不安定。
• 理論的予測の確認のため、特定のパラメータセットと初期条件を用いた数値的検証が行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 慢性骨髄性白血病をモデル化する遅延微分方程式におけるホップ分岐から生じる周期的解の安定性は何か？
• RQ2 ホップ分岐点におけるこの種の遅延微分方程式に対して、中心多様体と正規形をどのように計算できるか？
• RQ3 最初のリプシッツ係数は、分岐する周期的解の安定性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 遅延パラメータrの変化は、平衡点の安定性および周期的挙動の出現にどのように影響するか？
• RQ5 数値シミュレーションは、周期的解の安定性に関する理論的予測をどの程度確認しているか？

主な発見

• パラメータセット n*=12, β₀*=1.77, δ*=0.05, k*=1.180746972 に対して、ホップ分岐は r*=0.3559207407 で発生し、ω*=1.661686238 である。
• 分岐点における最初のリプシッツ係数は l₁(r*) = -43.71063 と計算され、周期的解が安定であることを示している。
• r > r* のとき、平衡点 x₂ は不安定となり、安定な周期的解が出現する。これは正規形 dρ/dt = (β(r) - ρ²)ρ で β(r) > 0 であることから確認できる。
• r < r* のとき、平衡点 x₂ は安定のままであり、g(r*) = 0 および dg/dr(r*) = -20.236 であることから、r < r* に対して g(r) > 0 であることが整合的である。
• 初期条件 φ(s) = cos(πs/(2r)) を用いた数値積分により理論的結果が確認された：r=0.35 では安定な平衡点、r*=0.35592 で分岐、r=0.36 では安定な周期的振動。
• 理論的安定性条件 (8) は数値結果と整合的である。平衡点は r < r* で安定で、r > r* で不安定であり、遷移は g(r) の符号によって支配される。