[論文レビュー] New results for 5-point functions

J. Gluza, T. Riemann|DESY (CERN, DESY, Fermilab, IHEP, and SLAC)|Dec 18, 2007

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、QEDにおける1ループ5点関数の評価にMellin-Barnes (MB)表現を用いることについて検討し、特にBhabha散乱におけるNNLOレベルの放射修正に関して考察する。MB手法が有限部の数値評価を改善しない一方で、赤外 (IR) 特異性を体系的かつ効率的に分離・計算する手段を提供することを示しており、テンソル5点関数のIR構造が逆二項係数和および多ログ関数を用いてスカラー関数の構造に完全に還元可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

Bhabha scattering is one of the processes at the ILC where high precision data will be expected. The complete NNLO corrections include radiative loop corrections, with contributions from Feynman diagrams with five external legs. We take these diagrams as an example and discuss several features of the evaluation of pentagon diagrams. The tensor functions are usually reduced to simpler scalar functions. Here we study, as an alternative, the application of Mellin-Barnes representations to 5-point functions. There is no evidence for an improved numerical evaluation of their finite, physical parts. However, the approach gives interesting insights into the treatment of the IR-singularities.

研究の動機と目的

• QEDにおける1ループ5点関数を計算するためのMellin-Barnes表現の適用可能性を検討すること。
• MB手法がスカラー、ベクトル、テンソル5点関数の有限部の数値評価を標準的還元手法と比較して改善するかを評価すること。
• Bhaba散乱における放射修正から生じる5点関数の赤外 (IR) 特異性を体系的に取り扱うこと。
• テンソル5点関数のIR構造がスカラー関数の構造に完全に還元可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 本稿では、F形式のフェ Feynman パラメータ積分の各項に対して7つの逐次的MB積分を導入することで、質量のある5点フェ Feynman 積分をMB表現で表現する。
• MathematicaのAMBRE.mパッケージを用いて完全なMB表現を導出し、Barnesの第一補題を適用して5次元形式に還元する。
• MB.mパッケージを用いて次元正則化のεに関する解析接続を実行し、有限で多次元的なMB積分を得る。
• 留数定理を用いて、積分を左側に閉じた輪郭で評価し、εに関する極を抽出することでIR発散に対応する。
• 既知の和分恒等式を用いて、IR発散部を逆二項係数和および多ログ関数の形に表現する。
• テンソル構造は、分子A(q)をqμ、qμqνなどを含む一般化することで取り扱い、その後のx積分によりベクトルおよびテンソル積分が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mellin-Barnes表現は、標準的還元手法と比較して、5点関数の有限部の評価において数値的に優れた方法を提供するか？
• RQ2 5点関数における赤外特異性はどのように生じ、MB手法を用いて体系的に分離可能か？
• RQ3 テンソル5点関数のIR構造は、スカラー5点関数の構造に完全に還元可能か？
• RQ4 逆二項係数和および多ログ関数を用いて、5点関数のIR発散部を閉じた解析的形で表現可能か？

主な発見

• Mellin-Barnesアプローチは、5点関数の有限部の数値評価を改善しない。収束性や安定性の向上の兆候は観察されなかった。
• 5点関数の一次および非一次赤外特異性は、MB積分を用いて体系的に抽出され、逆二項係数和として表現される。
• スカラー5点関数のIR発散部はI⁻¹(Vi)/ǫ + I⁰(Vi)の形で与えられ、明示的な表現には調和和および多ログ関数が含まれる。
• ベクトルおよびテンソル5点関数に関しては、IR発散部は質量のない内部線の弦Q₂およびQ₅に比例し、スカラーの場合に完全に還元可能である。
• 一次IR特異性I⁻¹(Vi)/ǫは、∑ₙ₌₀^∞ tⁿ (2n choose n) / (2n+1) の級数として表現可能であり、既知の恒等式を用いて対数関数および多ログ関数の形に和分可能である。
• 最終的なテンソル関数のIR構造はスカラー関数と一致し、テンソル構造が完全にスカラーのIR挙動によって決定されることを確認した。