[論文レビュー] New series for some special values of $L$-functions

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、中心二項係数、調和数、ディリクレ指標を含む、特殊L関数およびゼータ関数の値に対する48個の新たな予想される級数を提示する。合同式の変換定理と広範な数値計算を用いて、$sum_{k=1}^{ infty}frac{1}{k^4\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{k}+\sum_{j=k}^{2k}\frac{1}{j}\right) = \frac{11}{9}\zeta(5)$ のような高速収束級数を提案し、多重ゼータ値や特殊L値の評価に新たな道筋を提供する。

ABSTRACT

Dirichlet's $L$-functions are natural extensions of the Riemann zeta function. In this paper we first give a brief survey of Apéry-like series for some special values of the zeta function and certain $L$-functions. Then, we establish two theorems on transformations of certain kinds of congruences. Motivated by the results and based on our computation, we pose 48 new conjectural series (most of which involve harmonic numbers) for such special values and related constants. For example, we conjecture that \begin{align*}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4\binom{2k}k}\bigg(\frac1k+\sum_{j=k}^{2k}\frac1j\bigg)=&\frac{11}9ζ(5), \\\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}k}\bigg(\frac1{5k^3}+\sum_{j=1}^{k}\frac1{j^3}\bigg)=&\frac{2}5ζ(3)^2, \end{align*} and $$\sum_{k=1}^\infty\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}=\frac{15}2\sum_{k=1}^\infty\frac{(\frac k3)}{k^2},$$ where $(\frac k3)$ denotes the Legendre symbol.

研究の動機と目的

• 合同式の新規変換を用いて、リーマンゼータ関数およびディリクレL関数の特殊値に対するアペリー型級数を拡張すること。
• $\zeta(3)$, $\zeta(4)$, $\zeta(5)$, $\zeta(6)$ および関連定数に対する新たな高速収束級数を同定すること。
• 調和数の順序$m$、中心二項係数、およびルジャンドル記号を含む予想を提示し、L関数の値に関連付けること。
• これらの予想的恒等式の今後の証明のための計算的および理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 中心二項係数および調和和を含む特定の合同式クラスについて、$p^2$および$p$を法とする変換定理を導出する。
• 数値計算を適用してパターンを同定し、特殊L値およびゼータ値の新たな級数を予想する。
• 生成関数$\arcsin^n(x/2)$およびその導関数を用いて、調和数和を含む級数を関連付ける。
• 整数関係を発見するために、計算的ヒューリスティクスを通じてPSLQアルゴリズムを暗黙的に用いる。
• 部分和を級数項として表現するために、一般化された調和和$H_k^{(m)}$および$H_k^{(m)}(a)$を導入する。
• ベルヌーイ数およびルジャンドル記号を用いて部分和の$p$進性を分析し、予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和数構造を用いて、$\zeta(5)$, $\zeta(3)^2$ および他の特殊L値に対する新たな高速収束級数を発見できるか？
• RQ2 中心二項係数およびルジャンドル記号は、L関数および多重ゼータ値の恒等式を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 合同式の$p^2$および$p$を法とする変換は、無限級数におけるより深い算術的構造をどのように明らかにするか？
• RQ4 アペリー型級数の構造は、ネストされた調和和および交互符号を含むように一般化可能か？
• RQ5 $\sum_{j=0}^k \frac{1}{(2j+1)^m}$ を含む級数と、$\pi$, $\zeta(3)$, $G$, $\beta(4)$ などの既知の定数との関係は何か？

主な発見

• 級数$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{k}+\sum_{j=k}^{2k}\frac{1}{j}\right)$ は、$\frac{11}{9}\zeta(5)$ に等しいと予想され、$\zeta(5)$ の新たな表現を提供する。
• 恒等式$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}{k}}\left(\frac{1}{5k^3}+\sum_{j=1}^k\frac{1}{j^3}\right) = \frac{2}{5}\zeta(3)^2$ は、新たな二重ゼータ値級数として提案される。
• 級数$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}$ は、$\frac{15}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{k}{3})}{k^2}$ に等しいと予想され、中心二項係数とディリクレL関数を結びつける。
• 予想5.2(i)は、$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\left(12\sum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^2}-\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\right) = 4\pi G$ を与え、級数をカタラン定数$G$ と結びつける。
• 予想5.3(i)は、$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\left(8\sum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^4}+\frac{(-1)^k}{(2k+1)^4}\right) = \frac{11}{120}\pi^2\zeta(3)+\frac{8}{3}\pi\beta(4)$ を提案し、$\beta(4)$ に関連付ける。
• $p$-進合同式$\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)^2(-16)^k}\left(5\sum_{j=0}^k\frac{1}{(2j+1)^3}+\frac{1}{(2k+1)^3}\right) \equiv \frac{B_{p-5}}{8} \pmod{p}$ は、算術的性質を通じて予想された恒等式を支持する。