[論文レビュー] New Unconditional Hardness Results for Dynamic and Online Problems

Raphaël Clifford, Allan Grønlund+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、動的およびオンライン問題における新たな無条件のセルプローブ下界を確立し、特に行列-ベクトル乗算とPätraşcuのMultiphase問題を対象としている。新しい証明技法を導入し、閾値的トレードオフを示した。すなわち、クエリ時間が非常に速い場合、更新時間がすべての答えの照会テーブルを事前に計算できるほど遅くなる必要がある。これは類似の下界が初めて得られたものである。

ABSTRACT

There has been a resurgence of interest in lower bounds whose truth rests on the conjectured hardness of well known computational problems. These conditional lower bounds have become important and popular due to the painfully slow progress on proving strong unconditional lower bounds. Nevertheless, the long term goal is to replace these conditional bounds with unconditional ones. In this paper we make progress in this direction by studying the cell probe complexity of two conjectured to be hard problems of particular importance: matrix-vector multiplication and a version of dynamic set disjointness known as Patrascu's Multiphase Problem. We give improved unconditional lower bounds for these problems as well as introducing new proof techniques of independent interest. These include a technique capable of proving strong threshold lower bounds of the following form: If we insist on having a very fast query time, then the update time has to be slow enough to compute a lookup table with the answer to every possible query. This is the first time a lower bound of this type has been proven.

研究の動機と目的

• 条件付きのハードネス仮定に依存せずに、動的およびオンラインデータ構造問題に対する強力で無条件の下界を確立すること。
• 3SUM-hardness や SETH などの予想に基づく仮定に依存せずに、多項式時間の下界を証明するという長年の課題に取り組むこと。
• 有限体上の行列-ベクトル乗算とPätraşcuのMultiphase問題のセルプローブ複雑度を分析すること。
• クエリ時間が速いと、更新時間がすべての答えの照会テーブルを計算するのと同等になるような、閾値下界を導出できる新しい証明技法を開発すること。
• 有限体の構造を活用しないデータ構造は、行列-ベクトル乗算において本質的に $n^{2-o(1)}$ 時間/操作を要するという事実を示すこと。

提案手法

• 時間は更新およびクエリ中のメモリセルのアクセス回数で測定されるセルプローブモデルを計算フレームワークとして使用する。
• クエリ時間が速いと、すべての可能な答えの照会テーブルを事前に計算する必要が生じることを示す、新しい証明技法を導入する。
• 任意の大きな行の部分集合に対して、更新の過程で十分な数の列がカバーされるように、更新インデックスの well-spread なシーケンスを用いる。
• 確率的議論と組合せ的境界を用いて、このような well-spread シーケンスが高確率で存在することを示す。
• 符号化と復号化の議論を用いて、可能な入力ベクトルの集合のサイズを制限し、情報理論的制限をデータ構造の効率に導く。
• クエリ時間が速い任意のデータ構造は、すべての答えのテーブルをシミュレートできる十分な情報を保持している必要があることから、下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付けられたハードネス仮定に依存せずに、動的およびオンライン問題に対する無条件の下界を証明できるか？
• RQ2 有限体上の行列-ベクトル乗算のデータ構造において、更新時間とクエリ時間の本質的トレードオフは何か？
• RQ3 非常に速いクエリ時間に伴い、更新時間がすべての答えの照会テーブルを計算するのと同等になるような閾値下界を確立できるか？
• RQ4 有限体の構造を活用しないデータ構造は、行列-ベクトル乗算において本質的に非効率的であることを証明できるか？
• RQ5 現在の技術を用いて、PätraşcuのMultiphase問題に対して達成可能な最も強い無条件の下界は何か？

主な発見

• 本論文は、新しい閾値下界を証明した。すなわち、クエリ時間が非常に速い場合、更新時間はすべての可能なクエリの照会テーブルを計算できるほど遅くなる必要がある。
• 有限体上の行列-ベクトル乗算において、有限体の構造を明示的に活用しない任意のデータ構造は、1回の操作あたり $n^{2-o(1)}$ 時間を要する。
• 下界は現在の技術が許す限り強く、情報理論的議論に基づくセルプローブモデルにのみ依存する無条件のものである。
• 任意の大きな行の集合に対して、更新の過程で十分な数の列がカバーされるような well-spread な更新インデックスのシーケンスを構成した。このシーケンスにより、下界の構築が可能になった。
• 符号化議論により、可能な入力ベクトルの数は $2^{(27/32)nk\lg|\mathbb{F}|}$ で抑えられ、タイトな情報理論的境界が得られた。
• ランダムなシーケンスが well-spread でない確率は $2^{-\Omega(n^{4/3})}$ 以下であり、すべての関連パラメータにわたる和集合の上限をとることで、このようなシーケンスの存在を保証できる。