[論文レビュー] New way of second quantized theory of fermions with either Clifford or Grassmann coordinates and spin-charge-family theory

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

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ひとこと要約

本稿は、クリフォード座標またはグラスマン座標を用いてフェルミオンの新規第二量子化枠組みを提案し、クリフォード空間におけるノルム的および射影的要素から構成される生成・消滅演算子が自然にフェルミオンの反交換関係を満たすことを示している。主な結果は、クリフォード空間における1フェルミオン状態が本質的に第二量子化されているため、負エネルギー状態の導入が不要であるのに対し、グラスマン空間では整数スピンの「フェルミオン」が得られ、それが家族を記述できないことである。

ABSTRACT

Fermions with the internal degrees of freedom described in Clifford space carry in any dimension a half integer spin. There are two kinds of spins in Clifford space. The spin-charge-family theory,assuming even d=13+1, uses one kind of spins to describe in d=3+1 spins and charges of quarks and leptons and antiquarks and antileptons, while the other kind is used to describe families. The new way of second quantization, suggested by the spin-charge-family theory, is presented. It is shown that the creation and annihilation operators of 1-fermion states, written as products of nilpotents and projectors of an odd Clifford character, fulfill the anticommutation relations as required in the second quantization procedure for fermions: 1-fermion states are in Clifford space already second quantized, the creation operators for any n-fermion second quantized vectors are products of one fermion creation operators, operating on the empty vacuum state. It is demonstrated that also in Grassmann space there exist the creation and annihilation operators of an odd Grassmann character, generating "fermions", which fulfill as well the anticommutation relations for fermions, representing correspondingly the second quantized 1-"fermion" states, in this case with integer spins. Grassmann space offers no families. We discuss the new second quantization procedure of the fields in both spaces. For the Grassmann case we present the action, basic states, solutions of the Weyl equation for free massless "fermions" and discrete symmetry operators. A short overview of the achievements of the spin-charge-family theory is done, and open problems of this theory still waiting to be solved are presented. The Grassmann and the Clifford case are compared in order to better understand open questions in physics of elementary fermion and boson fields and in cosmology.

研究の動機と目的

• クリフォード代数およびグラスマン代数を用いたフェルミオンの新しい第二量子化手続きを開発し、負エネルギー状態に依存しないようにすること。
• スピン・電荷・家族構造を、d=(13+1) の高次元枠組みにおいてスピン・電荷・家族理論により統一すること。
• 標準量子場理論で仮定されている生成・消滅演算子の起源を説明すること。
• クリフォード空間とグラスマン空間の物理的内容、特にスピン統計と家族構造に関して比較すること。
• 物質-反物質非対称性やゲージ場・ヒッグス場の出現といった、標準模型を超える物理学における未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 奇数位相のクリフォード代数の要素からなるノルム的および射影的要素の積として生成・消滅演算子を構成する。
• これらの演算子がフェルミオンの標準反交換関係を満たすことを示し、クリフォード空間における1フェルミオン状態が本質的に第二量子化されていることを証明する。
• クリフォード空間におけるローレンツ生成子を用いて半整数スピンを定義するが、グラスマン対象は整数スピンを与える。
• グラスマン空間における場の作用を定式化し、質量ゼロのウェイル型方程式の解を導出し、離散的対称性演算子を定義する。
• スピン・電荷・家族理論を d=(13+1) 時空に適用し、自発的対称性の破れが低エネルギーにおける (3+1) 次元物理学を生じることを示す。
• クリフォード代数の二重構造（二種類の生成子）を用い、クォーク、レプトンおよびそれらの家族を異なるスピン型によって記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリフォード空間における代数的構造から、負エネルギー状態を仮定せずにフェルミオンの第二量子化を導出可能か？
• RQ2 グラスマン座標とクリフォード座標は、フェルミオン統計および物理的状態の生成に関してどのように比較できるか？
• RQ3 クリフォード空間における二種類のスピン型が、クォーク、レプトンおよびその家族を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ4 d=(13+1) におけるスピン・電荷・家族理論は、d=(3+1) における観測されたゲージ対称性、ヒッグス機構、物質-反物質非対称性をどのように再現するか？
• RQ5 グラスマン空間における内部スピン構造の意味は何か、特に整数スピン性と家族生成の欠如に関して。

主な発見

• 奇数位相のクリフォード代数の要素から構成される生成・消滅演算子は、標準反交換関係を満たしており、クリフォード空間における1フェルミオン状態がすでに第二量子化されていることを証明する。
• 理論は負エネルギー状態の必要性を排除し、相対論的量子場理論における長年の問題を解決する。
• グラスマン空間では、奇数グラスマン性を持つ演算子がフェルミオン反交換関係を満たす状態を生成するが、内部スピンは整数であり、半整数ではない。
• d=(13+1) におけるクリフォード代数の二種類のオブジェクトにより、一方のスピン型がクォーク・レプトン（電荷およびスピンを含む）を記述可能であり、他方が家族を記述可能である。
• スピン・電荷・家族理論は、高次元における自発的対称性の破れを通じて、標準模型のゲージ群、ヒッグス機構、およびユカワ結合の幾何的起源を提供する。
• 理論は物質-反物質非対称性を予測し、d=(13+1) におけるカユーズァ＝クライン型コンパクト化を通じて重力とゲージ場・ヒッグス場を統一するフレームワークを提供する。