[論文レビュー] Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases

Naoki Fujita, Satoshi Naito|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の評価値を介して、シューベルト多様体のニュートン・オクウンコフ凸体と、デマズールクリスタルのナカシマ＝ゼレヴィンスキーの多面体的実現との間の明確な対応関係を確立する。特定の簡約語と最高項評価値に関して、ニュートン・オクウンコフ凸体が対応するデマズールクリスタルの多面体的モデルに一致することを証明し、さらにカシワラの対合が有理関数体上の評価値の変更に対応することを示している。

ABSTRACT

A Newton-Okounkov convex body is a convex body constructed from a projective variety with a valuation on its homogeneous coordinate ring; this is deeply connected with representation theory. For instance, the Littelmann string polytopes and the Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes are examples of Newton-Okounkov convex bodies. In this paper, we prove that the Newton-Okounkov convex body of a Schubert variety with respect to a specific valuation is identical to the Nakashima-Zelevinsky polyhedral realization of a Demazure crystal. As an application of this result, we show that Kashiwara's involution (*-operation) corresponds to a change of valuations on the rational function field.

研究の動機と目的

• デマズールクリスタルの明確な幾何的実現を、ニュートン・オクウンコフ凸体を用いて行う。
• 特定の評価値に関して、シューベルト多様体のニュートン・オクウンコフ凸体が、対応するデマズールクリスタルのナカシマ＝ゼレヴィンスキーの多面体的モデルに一致することを証明する。
• カシワラの対合の幾何的意味を、シューベルト多様体の関数体上の評価値の変更の観点から明確化する。

提案手法

• 特定の簡約語に関して、シューベルト多様体の関数体に最高項評価値を用いてニュートン・オクウンコフ凸体を構成する。
• 評価値の半群を、ナカシマ＝ゼレヴィンスキーの多面体的実現写像によるクリスタル基底の像と特定する。
• シューベルト多様体の指数関数的写像による有理写像パラメータ表示を用いて、関数体を r 変数の有理関数体と同一視する。
• クリスタル作用素から導かれる分岐線形写像を用いて、多面体的モデルとニュートン・オクウンコフ凸体を関連付ける。
• クリスタル基底とデマズール加群の理論を用いて、表現論的構造と代数幾何学的構造を結びつける。
• 双対化の下で多面体的モデルの変換を分析することにより、カシワラの対合が評価値の変更に対応することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の評価値に関して、シューベルト多様体のニュートン・オクウンコフ凸体は、対応するデマズールクリスタルのナカシマ＝ゼレヴィンスキーの多面体的実現と同型であるか？
• RQ2 ニュートン・オクウンコフ凸体の構造は、クリスタル基底の組合せ論にどのように反映されるか？
• RQ3 シューベルト多様体の関数体上の評価値の観点から、カシワラの対合の幾何的解釈は何か？
• RQ4 適切な評価値を用いることで、デマズールクリスタルの多面体的モデルをニュートン・オクウンコフ凸体として実現できるか？
• RQ5 ニュートン・オクウンコフ凸体を定義する不等式は、ストリング多面体およびデマズールクリスタルの定義条件とどのように関係するか？

主な発見

• 特定の評価値 $v_{\bf i}$ に関して、シューベルト多様体のニュートン・オクウンコフ凸体は、$w$ および $\rho$ に関連するナカシマ＝ゼレヴィンスキーの多面体的実現と同一である。
• $G=SL_3(\bbC)$ の場合、多面体的実現 $\triangle_{\bf i}^{(\rho,w_0)}$ は $\{ (a_1,a_2,a_3) ∈ ℝ^3 ∣ 0\leq a_1\leq1, 0\leq a_3\leq1, a_3\leq a_2\leq a_1+1 \}$ で与えられ、ニュートン・オクウンコフ凸体と一致する。
• $G=Sp_4(\bbC)$ の場合、多面体的実現 $\triangle_{\bf i}^{(\rho,w_0)}$ は $0\leq a_1\leq1$, $0\leq a_2\leq a_1+1$, $0\leq a_3\leq\min\{a_2+1,2a_2\}$, および $0\leq 2a_4\leq\min\{2,a_3\}$ で定義され、ニュートン・オクウンコフ凸体と一致する。
• $Sp_4(\bbC)$ のストリング多面体 $\tld{\triangle}_{{\bf i}^{\rm op}}^{(\rho,w_0)}$ は $0\leq a_4\leq1$, $a_4\leq a_3\leq a_4+1$, $a_3\leq a_2\leq 2a_3-2a_4+1$, および $0\leq a_1\leq a_2-2a_3+a_4+1$ で与えられ、双対性が確認される。
• 分岐線形写像 $η_{\bf i}$ は、多面体的実現とストリング多面体の間の全単射を誘導し、与えられたパラメータ表示の下でそれらの同値性を証明する。
• カシワラの対合は、多面体的モデルとストリング多面体の双対性によって示されるように、有理関数体上の評価値の変更に対応する。