[論文レビュー] Newton polyhedra of discriminants of projections

Alexander Esterov|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、係数がパラメータに依存するローレンツ多項式系の判別式のノイザ多面体に対する公式を、混合ファイバー多面体とトーリック多様体のオイラー付加量を用いて提示する。主な結果は、特殊ケースにおける既知の公式を一般化し、非混合状態では明示的かつ計算可能な表現を提供する。応用分野は特異点論および代数幾何学に及ぶ。

ABSTRACT

For a system of polynomial equations, whose coefficients depend on parameters, the Newton polyhedron of its discriminant is computed in terms of the Newton polyhedra of the coefficients. This leads to an explicit formula (involving mixed fiber polyhedra and Euler obstructions of toric varieties) in the unmixed case, suggests certain open questions in general, and generalizes a number of similar known results. The argument is based on a formula for the support function of a mixed fiber body, which also suggests a new proof for existence of mixed fiber bodies.

研究の動機と目的

• パラメータに依存する係数を持つローレンツ多項式系の判別式のノイザ多面体を計算すること。
• ユニバーサル系や超曲面などの特殊ケースにおける既知の結果を、任意のパラメータ化された系の一般ケースに拡張すること。
• 判別式のノイザ多面体を係数多面体の言葉で記述する、オイラー付加量と混合ファイバー多面体を含む公式を確立すること。
• アフィントーリック多様体上の解析関数への枠組みの拡張を図り、複素トーラス上のローレンツ多項式の古典的設定を一般化すること。
• 特定の凸包条件の下で、判別式ノイザ多面体に対する高次加法性関係を導出すること。

提案手法

• 係数の依存関係を符号付きの $\mathbb{R}^n \oplus \mathbb{R}^k$ 上のノイザ多面体のミンコフスキー和と混合ファイバー多面体を用いて記述する。
• 単項式集合 $A$ の凸包の面 $A'$ に関連するオイラー付加量 $e^{A',A}$ を導入し、組合せ論的および幾何的解釈を与える。
• 各面 $A'$ に対して、$\dim A' \geq l$ かつ $a_i > 0$, $\sum a_i = \dim A' + 1$ を満たす $\Delta_i(A')^{a_i}$ としてのファイバー多面体を適用する。
• 符号付き和 $\mathcal{N} = \sum_{A'} e^{A',A} \cdot \sum_{\mathbf{a}} \Delta_0(A')^{a_0} \cdots \Delta_l(A')^{a_l}$ を用いて判別式ノイザ多面体を構成し、多面体の減算を許容する。
• ミンコフスキー理論およびビルレ＝シュトゥルムフェルスの積分と関連する混合ファイバーボディおよび混合シャドウボリュームの理論に依拠する。
• 還元定理を用いて一般ケースを $l=0$ ケースに還元し、ローレンツ多項式のグローバル設定への結果の移行を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化された多項方程式系の判別式のノイザ多面体は、その係数のノイザ多面体を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 オイラー付加量は判別式ノイザ多面体の計算において果たす役割は何か？また、パラメータ空間内の特異性をどのように捉えているか？
• RQ3 特殊ケース（例：$l=0$, $l=k$, $l=k-1$）における判別式の古典的公式は、任意の系に統一的かつ一般化可能か？
• RQ4 係数多面体が互いに同一でない場合、判別式ノイザ多面体の構造はどのようなものか？
• RQ5 特定の凸包条件の下で、判別式ノイザ多面体に対する高次加法性法則が成り立つか？もし成り立つならば、その表現はどのようにされるか？

主な発見

• 判別式のノイザ多面体は $\mathcal{N} = \sum_{A' \subset A, \dim A' \geq l} e^{A',A} \cdot \sum_{a_0 + \cdots + a_l = \dim A' + 1,\, a_i > 0} \Delta_0(A')^{a_0} \cdots \Delta_l(A')^{a_l}$ で与えられ、ここで $e^{A',A}$ はオイラー付加量である。
• この公式は負の係数を許容するため、$Q + X = P$ の解を用いて多面体の減算が可能であり、定義の明確化が図られる。
• 結果として得られる多面体 $\mathcal{N}$ が一点である場合、判別式集合 $\Sigma$ は余次元1成分を持たない。それ以外の場合は、$\mathcal{N}$ は判別式超曲面のノイザ多面体である。
• 判別式の主要係数は、$F_i$ の主要係数を用いて記述され、多面体の範囲を越えて方程式全体にまで拡張された結果が得られる。
• 高次加法性関係が成り立つ：$\mathcal{N}(\Delta_0 + \Delta_1, \Delta_2, \ldots, \Delta_l) = \sum_{\mu=1}^\infty \left[ \mathcal{N}(\underbrace{\Delta_0,\ldots,\Delta_0}_{\mu}, \underbrace{\Delta_1,\ldots,\Delta_1}_{\mu-1}, \Delta_2, \ldots, \Delta_l) + \mathcal{N}(\underbrace{\Delta_0,\ldots,\Delta_0}_{\mu-1}, \underbrace{\Delta_1,\ldots,\Delta_1}_{\mu}, \Delta_2, \ldots, \Delta_l) + 2\mathcal{N}(\underbrace{\Delta_0,\ldots,\Delta_0}_{\mu}, \underbrace{\Delta_1,\ldots,\Delta_1}_{\mu}, \Delta_2, \ldots, \Delta_l) \right]$ であり、すべての項のうち有限個を除き $\{0\}$ である。
• 混合シャドウボリューム $\mathop{\rm MS}\nolimits_\mu$ は、混合体積 $\mathop{\rm MV}\nolimits(\widetilde{\Delta}_0, \ldots, \widetilde{\Delta}_k)$ と一致し、$\widetilde{\Delta}_j = (\Delta_j + l_-) \times p(\Delta_j) + l_-$ を通じてビルレ＝シュトゥルムフェルスのファイバー積分と関連する。