[論文レビュー] Nice inducing schemes and the thermodynamics of rational maps

Feliks Przytycki, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非一様的双曲的系や実係数をもつ二次多項式を含む広範な有理写像のクラスに対して、ホワイトニーズ型分解を用いた洗練された誘導スキームを導入することにより、圧力関数の実解析的性質を確立する。主な結果は、圧力関数が高々2つの相転移を有することであり、これは解析的でない可能性があるのは高々2点に限ることを保証する。さらに、正エントロピー領域における平衡状態に対して、相関の指数的減衰および中心極限定理が保証される。

ABSTRACT

We consider the thermodynamic formalism of a complex rational map $f$ of degree at least two, viewed as a dynamical system acting on the Riemann sphere. More precisely, for a real parameter $t$ we study the (non-)existence of equilibrium states of $f$ for the potential $-t \ln |f'|$, and the analytic dependence on $t$ of the corresponding pressure function. We give a fairly complete description of the thermodynamic formalism of a rational map that is "expanding away from critical points" and that has arbitrarily small "nice sets" with some additional properties. Our results apply in particular to non-renormalizable polynomials without indifferent periodic points, infinitely renormalizable quadratic polynomials with a priori bounds, real quadratic polynomials, topological Collet-Eckmann rational maps, and to backward contracting rational maps. As an application, for these maps we describe the dimension spectrum of Lyapunov exponents, and of pointwise dimensions of the measure of maximal entropy, and obtain some level-1 large deviations results.

研究の動機と目的

• 次数 ≥2 の複素有理写像に対して、パrameter t に関する圧力関数 P(t) の実解析的依存性を確立すること。
• 非一様的双曲的有理写像の広いクラスにおける熱力学的形式主義を記述すること、特に事前限界をもつ無限再帰的二次多項式や非再帰的多項式を含むこと。
• TCE 条件または事前限界を満たす写像に対するリャプノフ指数の次元スペクトルおよび最大エントロピー測度の点付き次元のスペクトルを分析すること。
• 平衡状態に対するレベル1の大偏差結果を導出し、無限大の吸引域の積分平均スペクトルの解析的性質を証明すること。

提案手法

• 再帰的臨界点を扱うために、最初の帰還時間ではなく、より高い帰還時間を利用する一般化された誘導スキームを構築する。
• 適合質量の制御および先行研究における密度に基づく手法の代わりに、引き戻しのホワイトニーズ型分解を導入する。
• [PRLS04] で得られた圧力関数の異なる特徴づけを用いて、解析的性質と相転移を分析する。
• Sobolev空間上の作用素のスペクトル理論を用いて、移行作用素を適用し、相関の指数的減衰および中心極限定理を確立する。
• [PS75] に示された大偏差定理を、周期点の逆像の重み付き和を用いて平衡状態に適用する。
• 圧力関数と多分岐スペクトルのレジェンドル双対性を用いて、次元スペクトルの解析的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的臨界点をもつ有理写像に対して、圧力関数 P(t) が実解析的となる条件は何か？
• RQ2 非一様的双曲的有理写像の熱力学的形式主義における相転移の構造はいかなるものか？
• RQ3 TCE 条件または事前限界を満たす写像に対して、リャプノフ指数の次元スペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ4 実係数をもつ二次多項式に対して、無限大の吸引域の積分平均スペクトルが実解析的であることを示せるか？
• RQ5 正エントロピー領域における平衡状態に対して、統計的性質（例えば、相関の指数的減衰、CLT）はどのようなものが成立するか？

主な発見

• 圧力関数 P(t) は ℝ 上で実解析的であり、高々2つの例外を除く。これは、熱力学的形式主義において高々3つの相が存在することを意味する。
• 中立的周期点をもたない非再帰的多項式、および事前限界をもつ無限再帰的二次多項式に対して、圧力関数は高々2つのパrameter において解析的でない可能性があるが、それ以外では解析的である。
• 連結なジュリア集合をもつ非べき乗的・非チェビシェフ多項式に対して、最大エントロピー測度の点付き次元の次元スペクトルは、α < 1 において実解析的である。
• 無限大の吸引域の積分平均スペクトルは、各 t ∈ ℝ で実解析的であり、高々2つの例外を除く。
• 正エントロピー領域では、一意な平衡状態が存在し、相関の指数的減衰および中心極限定理を満たす。
• レベル1の大偏差において、レアイベントの確率は、P(t(ε)) − P(t₀) − (t(ε) − t₀)P′(t(ε)) < 0 のレートで指数的に減少し、大偏差原理の有効性が裏付けられる。