[論文レビュー] No arbitrage and local martingale deflators

Yuri Kabanov, Constantinos Kardaras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、第一種アービトラージ（NA₁）条件のもとで、元の確率測度の全 variation 領域に、正の局所 martingale デフレーターをもつ同値確率測度が存在することを確立する。主な貢献は、1資産モデルに限った既知の結果を多変数 semimartingale モデルへ一般化し、NA₁ が元の測度においては存在しない場合でも、元の測度の任意に小さな全 variation 領域において局所 martingale デフレーターが存在することを示したことである。

ABSTRACT

A supermartingale deflator (resp., local martingale deflator) multiplicatively transforms nonnegative wealth processes into supermartingales (resp., local martingales). The supermartingale numeraire (resp., local martingale numeraire) is the wealth processes whose reciprocal is a supermartingale deflator (resp., local martingale deflator). It has been established in previous literature that absence of arbitrage of the first kind (NA1) is equivalent to existence of the supermartingale numeraire, and further equivalent to existence of a strictly positive local martingale deflator; however, under NA1, the local martingale numeraire may fail to exist. In this work, we establish that, under NA1, any total-variation neighbourhood of the original probability has an equivalent probability under which the local martingale numeraire exists. This result, available previously only for single risky-asset models, is in striking resemblance with the fact that any total-variation neighbourhood of a separating measure contains an equivalent $σ$-martingale measure. The presentation of our main result is relatively self-contained, including a proof of existence of the supermartingale numeraire under NA1. We further show that, if the Levy measures of the asset-price process have finite support, NA1 is equivalent to existence of the local martingale numeraire with respect to the original probability.

研究の動機と目的

• NA₁ 条件のもとで、元の確率測度の任意の全 variation 領域において、正の局所 martingale デフレーターが存在することを確立すること。
• 従来、1資産モデルに限って成立していた結果を、多変数 semimartingale フレームワークへ一般化すること。
• NA₁ と局所 martingale ナンテュールの存在との関係を明確にすること、特に元の測度においてそのようなナンテュールが存在しない場合の構造的関係を明らかにすること。
• Lévy 測度の台が有限の場合、NA₁ が元の確率測度において正の局所 martingale デフレーターの存在と同値であることを示すこと。
• NA₁ 条件のもとで、スーパーマーティンググ ナンテュールの存在を自己完結的証明により示し、主要結果を基礎的原則に裏付けさせること。

提案手法

• 先行研究で確立された NA₁ と正のスーパーマーティンググ デフレーターの存在との間の同値性を利用する。
• 確率測度に対する摂動論法を適用する：元の測度の任意の全 variation 領域に対して、局所 martingale デフレーターが存在する同値測度を構成する。
• 局所 martingale デフレーター、二次変動、およびインジケータ関数によるジャンプのトリunction などの stochastic calculus の技術を用いる。
• φ(y) や ψ(y) などの関数を含む不等式を用いて、ジャンプ成分や二次変動項などの主要プロセスの確率的有界性を保証する。
• トリuncated 積分核を用いた確率積分の大数の法則を適用し、特定の条件下で確率収束およびtightness を示す。
• Doob の不等式と変数変換の公式を用いて、martingale 項の成長を制御し、一様可積分性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数モデルにおいて NA₁ が成り立つ場合、元の確率測度の近傍における局所 martingale デフレーターの存在が保証されるか？
• RQ2 1資産モデルにおける局所 martingale デフレーターの近傍測度への存在に関する既知の結果を、多資産 semimartingale モデルへ拡張可能か？
• RQ3 Lévy 測度にどのような条件下で NA₁ が元の測度において局所 martingale デフレーターの存在を示すか？
• RQ4 元の測度において局所 martingale ナンテュールが存在しない場合、その失敗は資産価格プロセスの構造とどのように関係するか？
• RQ5 元の測度において局所 martingale デフレーターが存在しない場合、全 variation 領域がその存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• NA₁ の下で、元の確率測度の任意の全 variation 領域に対して、正の局所 martingale デフレーターをもつ同値確率測度が存在する。
• 本結果は、従来知られていた1資産モデルの結果を多変数 semimartingale モデルへ拡張し、NA₁ の強固な構造的性質を示している。
• 資産価格プロセスの Lévy 測度の台が有限の場合、NA₁ は元の確率測度において正の局所 martingale デフレーターの存在と同値である。
• 集合 {supₜ ΔRₛ I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R} は P-有界であるため、NA₁ の下で資産価格プロセスの大きなジャンプが制御可能である。
• 集合 {∑ₛ≤T (ΔRₛ)²/(1+ΔRₛ) I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R} は P-有界であるため、NA₁ の下でジャンプ成分の可積分性が確認される。
• トリuncated 確率積分のための大数の法則により、Mⁿ_T / (Lⁿ_T)^{3/4} は P-有界であることが示され、NA₁ の下で確率収束に関する結果を支持する。