[論文レビュー] No-Hair Theorems and Black Holes with Hair

Markus Heusler|ArXiv.org|Oct 11, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、ヤン・ミルズ場およびスカラー場の髪を持つブラックホール解における一意性の失敗を分析することで、一般相対性理論におけるno-hair定理の基礎を再検討する。発散恒等式、エネルギー条件、および共形的技法を用いて、任意のリーマン的標的多様体を持つ調和写像へのno-hair定理の拡張を実現し、非アーベルゲージ理論における反例が存在するにもかかわらず、特定の制約下ではKerr-Newman計量が一意に残ることを示している。

ABSTRACT

The critical steps leading to the uniqueness theorem for the Kerr-Newman metric are reexamined in the light of the new black hole solutions with Yang-Mills and scalar hair. Various methods -- including scaling techniques, arguments based on energy conditions, conformal transformations and divergence identities -- are reviewed, and their range of application to selfgravitating scalar and non-Abelian gauge fields is discussed. In particular, the no-hair theorem is extended to harmonic mappings with arbitrary Riemannian target manifolds. (This paper is an extended version of an invited lecture held at the Journées Relativistes 96.)

研究の動機と目的

• ヤン・ミルズ場およびスカラー場の髪を持つ反例を踏まえて、静的なブラックホールの一意性定理の論理的構造を再評価すること。
• 特に自己重力的スカラー場および非アーベルゲージ場を想定した場合に、標準的一意性証明のどのステップが依然として有効であるかを特定すること。
• 任意のリーマン的標的多様体を持つ調和写像へのno-hair定理の拡張を実現すること。
• エネルギー条件、共形変換、および発散恒等式がブラックホール解の一意性を証明する上で果たす役割を調査すること。
• Kerr-Newman計量が、特定の条件下では依然として一意解として残ることの条件を明確化すること。

提案手法

• 発散恒等式およびエネルギー条件の議論を適用して、スカラー場およびゲージ場を含むアインシュタイン＝マクスウェル系に局所的保存則を導出する。
• 一般化されたブラックホール力学の第一法則を用いて、キリング場の静的性および超曲面直交性を確立する。
• エルンス形式を用いて場の方程式を2次元境界値問題に還元し、一意性の証明にロビンソンの恒等式を適用可能にする。
• 場の方程式から、$ d^lat j = 0 $ の形の保存電流を導出し、$ rac{dV}{V}, rac{ u}{V^2}, d ilde{ ho}, d ilde{ au} $ のような1形式の組み合わせが保存量を生成することを特定する。
• 明示的な微分恒等式 $ d^lat ig( ext{combination of } rac{d ilde{ ho}}{V}, rac{d ilde{ au}}{V}, rac{ u}{V^2}, rac{dV}{V} ig) = 0 $ を構築し、ホライズン量に制約を課す。
• スマールの公式および導出された恒等式を用いて、NUT電荷（$ U_H = 0 $）を消去し、ホーキング温度 $ T_H = rac{2}{ ilde{A}} ig( M^2 - Q^2 - P^2 ig)^{1/2} $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的一意性定理の証明におけるどの仮定が、ヤン・ミルズ場またはスカラー場の髪を持つブラックホール解によって破られるか？
• RQ2 no-hair定理は、任意のリーマン的標的多様体を持つ調和写像へ拡張可能か？
• RQ3 非アーベルゲージ場が存在する状況でも、発散恒等式およびエネルギー条件が一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 場の方程式から導出された保存電流は、ホライズン量および熱力学的パラメータにどのように制約を課すか？
• RQ5 エルンス形式および $ d^lat J^a_b = 0 $ 構造は、ホーキング温度の公式を導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 導出された保存則を満たす解ではNUT電荷が消える（$ U_H = 0 $）ことから、NUT電荷が存在しない場合には重力的髪が存在しないことが確認された。
• ホライズン上の電磁ポテンシャルは $ ilde{ ho}_H Q = ilde{ au}_H P $ を満たす。これは、保存電流 $ d^lat ig( ilde{ ho} rac{d ilde{ au}}{V} - ilde{ au} rac{d ilde{ ho}}{V} + ( ilde{ ho}^2 + ilde{ au}^2) rac{ u}{V^2} ig) = 0 $ の直接的結果である。
• スマールの公式 $ M = M_H + ilde{ ho}_H Q + ilde{ au}_H P $ が導出され、ホライズンポテンシャルをグローバルな電荷および質量で表すために用いられた。
• ホーキング温度は $ T_H = rac{2}{ ilde{A}} ig( M^2 - Q^2 - P^2 ig)^{1/2} $ として導出され、Kerr-Newman解と整合的である。
• 非自明な保存電流 $ d^lat j = 0 $ の存在は、エルンス方程式の非線形スカラー・モデル構造と関連づけられ、$ J^a_b = ilde{ ho}^{-1} d ilde{ ho} $ により、系の可積分性が確認された。
• 本手法により、標準的な電磁場の場合を越えて、任意のリーマン的標的多様体を持つ調和写像へのno-hair定理の一般化に成功した。