[論文レビュー] No More Than Mechanics. I

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|May 2, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、表現論を介して古典的および量子的力学を統一する、'Plain Mechanics'と呼ばれる統一的演算子理論的枠組みを提案する。ヘイゼンベルク群上の両側畳み込みを用いてこの枠組みを実現することで、量子力学（非可約表現を介して）と古典力学（h→0極限を介して）を結ぶ可換図式を確立し、観測量の運動方程式がそれぞれヘイゼンベルク方程式およびハミルトン方程式に一貫して写像されることを示す。

ABSTRACT

One can introduce so-called {\em Plain Mechanics} having an {\bf operator realization}. Then the set of one-dimension representations of this operator realization may be identified with the Classical Mechanics. Different irreducible infinite-dimension representations may be recognized as Quantum Mechanics for different $\hbar$ (the Planck constant). It can be done in the such manner that the following diagram will be commutative. Plain Mechanics / \ / \ / \ Quantum Mechanics --> Classical Mechanics h->0 Here the horizontal arrow is well known correspondence between Quantum and Classical Mechanics if Planck constant tensing to zero. A {\em realization} of this scheme for a particle in $n$-dimensional space by two-sided convolutions on the Heisenberg group is constructed. We also introduce the {\em motion equations} for observables in this realization. The left arrow of the given diagram carries this equation to the Heisenberg one and the right arrow maps it to the Hamilton equation.

研究の動機と目的

• 古典的および量子的力学を、'Plain Mechanics'と呼ばれる単一の演算子理論的形式主義で統一すること。
• この形式主義の異なる非可約無限次元表現が、異なるプランク定数を持つ量子力学に対応することを示すこと。
• 演算子実現を通じて、量子力学（h→0）から古典力学への可換図式を確立すること。
• この演算子フレームワークにおける観測量の運動方程式を定義および分析すること。
• これらの運動方程式が、量子領域ではヘイゼンベルク方程式に、古典的極限ではハミルトン方程式に還元されることを示すこと。

提案手法

• ヘイゼンベルク群上の両側畳み込みを用いて、'Plain Mechanics'の演算子実現を構築すること。
• h→0極限を介して、この演算子代数の1次元表現を古典力学に対応させること。
• 非可約無限次元表現を用いて、プランク定数ℏの異なる値に対応する量子力学をモデル化すること。
• ヘイゼンベルク方程式を一般化する、この演算子フレームワークにおける観測量の運動方程式を定義すること。
• 量子表現下で運動方程式がヘイゼンベルク方程式に一貫して写像され、古典的極限下でハミルトン方程式に還元されることを示すこと。
• 表現論および群論的手法を用いて、提案された図式の可換性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および量子的力学を、単一の演算子理論的枠組みでどのように統一できるか？
• RQ2 ヘイゼンベルク群の非可約表現は、異なるプランク定数を持つ量子力学の実現において果たす役割は何か？
• RQ3 演算子実現におけるh→0極限が、どのようにして古典力学を回復するか？
• RQ4 この一般化された枠組みにおける観測量の運動方程式の構造は何か？
• RQ5 この演算子実現における運動方程式は、どのようにして標準的なヘイゼンベルク方程式およびハミルトン方程式に還元されるか？

主な発見

• ヘイゼンベルク群上の'Plain Mechanics'の演算子実現は、古典的および量子的力学の統一的設定を提供する。
• この演算子代数の1次元表現は、h→0極限において正確に古典力学に対応する。
• 同じ代数の非可約無限次元表現は、プランク定数ℏの異なる値に対応する量子力学を実現する。
• この枠組みにおける観測量の運動方程式は、量子領域においてヘイゼンベルク方程式に一貫して写像される。
• 古典的極限（h→0）において、運動方程式は標準的なハミルトンの運動方程式に還元される。
• Plain Mechanics、量子力学、古典力学を含む提案された図式は、指定された極限および写像の下で可換である。