[論文レビュー] Noether conservation laws issue from the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Feb 6, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、元のラグランジアンがゲージ不変でない場合でも、オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性からネーター保存則が生じうることを確立している。ゲージ変換におけるオイラー＝ラグランジュ作用素のリー微分を分析し、第一変分公式を活用することで、変分的に自明なラグランジアンを通じて、作用素のゲージ不変性そのものが弱保存則を導くことを示しており、標準的なラグランジアン不変性を超えてネーターの定理を一般化している。

ABSTRACT

As is well known, there are different Lagrangians which lead to the same Euler-Lagrange operator. The gauge invariance of a Lagrangian guarantees that of the corresponding Euler-Lagrange operator, but not vice versa. We show that the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian results in Noether conservation laws.

研究の動機と目的

• ネーターの保存則が、ラグランジアン自体の不変性ではなく、オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性から生じうるかどうかを調査すること。
• ラグランジアンのゲージ不変性、そのオイラー＝ラグランジュ作用素、そしてそれらから生じる保存則の間の関係を明確にすること。
• オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性が保存則を導く条件を同定することで、ネーターの第一定理を拡張すること。
• 変分的に自明なラグランジアンが、オイラー＝ラグランジュ作用素のレベルでのゲージ対称性の保存に果たす役割を特徴づけること。

提案手法

• 滑らかなファイバー束 $Y \to X$ 上での一次元場理論を、適切な座標 $(x^\lambda, y^i, y^i_\lambda)$ を持つジャンマンフォールド $J^1Y$ および $J^2Y$ を用いて形式化すること。
• 第一変分公式を用いてオイラー＝ラグランジュ作用素 $\mathcal{E}_L$ を定義し、$\mathcal{E}_L = (\partial_i \mathcal{L} - d_\lambda \partial^\lambda_i)\mathcal{L} \theta^i \wedge \omega$ として表現すること。
• ジャンプロロングされたゲージベクトル場 $J^1u$ 沿いのリー微分 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ を用いて不変性の性質を分析すること。
• 第一変分公式 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$ を適用し、リー微分を幾何的および変分的成分に分解すること。
• $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ が成り立つのは、$\mathbf{L}_{J^1u}L$ が変分的に自明である、すなわち $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$ となる閉 $n$-形式 $\varphi$ である場合に限ることを確立すること。
• 解空間 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 上で $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$ が成り立つとき、$\varphi = d\sigma$ ならば弱保存則を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジアンがゲージ不変でない場合でも、オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性からネーター保存則を導出できるか？
• RQ2 オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性が保存則を導くための正確な条件は何か？
• RQ3 第一変分公式は、ラグランジアンのリー微分とオイラー＝ラグランジュ作用素、および保存則の間にどのような関係をもつのか？
• RQ4 変分的に自明なラグランジアンは、オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性にどのような役割を果たすのか？
• RQ5 オイラー＝ラグランジュ作用素のゲージ不変性が、解多様体上で弱保存則を導くための条件は何か？

主な発見

• オイラー＝ラグランジュ作用素 $\mathcal{E}_L$ のゲージ不変性は、元のラグランジアン $L$ がゲージ不変でない場合でも、ネーター保存則の存在を示唆する。
• $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ が成り立つのは、リー微分 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ が変分的に自明である、すなわち $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$ となる閉 $n$-形式 $\varphi$ である場合に限る。
• $\varphi = d\sigma$ が完全形式であるとき、解空間 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 上で保存則は $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$ の形をとる。
• 任意の $L_0$ が変分的に自明であるような他のラグランジアン $L' = L + L_0$ に対しても同じ保存則が得られることから、ラグランジアンの同値性に関して不変であることが示される。
• 第一変分公式 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$ は、ゲージ対称性と保存則を結ぶ幾何的分解を提供する。
• 本結果は、ネーターの第一定理を一般化しており、保存則の源がラグランジアンの不変性ではなく、作用素自体のゲージ不変性である可能性を示している。