[論文レビュー] Noether's Theorem for Control Problems on Time Scales

Agnieszka B. Malinowska, Moulay Rchid|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、時間スケール上の最適制御問題へのネーターの定理の一般化を提示し、ラグランジアンが1パラメータ族の変換に関して、正確なデルタ微分まで不変である場合、保存則が成立することを示している。主な貢献は、連続的・離散的・量子的システムに適用可能な、最適制御における時間スケール版ネーターの定理の確立であり、特に、ハミルトニアンと後退跳躍作用素の合成が極値曲線に沿って保存されることを示す、自律的システムへの応用を含む。

ABSTRACT

We prove a generalization of Noether's theorem for optimal control problems defined on time scales. Particularly, our results can be used for discrete-time, quantum, and continuous-time optimal control problems. The generalization involves a one-parameter family of maps which depend also on the control and a Lagrangian which is invariant up to an addition of an exact delta differential. We apply our results to some concrete optimal control problems on an arbitrary time scale.

研究の動機と目的

• 古典的変分法から時間スケール上の最適制御問題へ、ネーターの定理を拡張すること。
• 状態、制御、時間に依存する1パラメータ族の変換に対して不変である最適制御系における保存則を確立すること。
• 時間スケール微積分を用いて、連続的・離散的・量子的最適制御の結果を統一すること。
• ハミルトニアンと後退跳躍作用素の合成が保存されることを示す、自律的システムに適用可能な枠組みを提供すること。
• 時間スケール上の変分法における既存のネーター型定理を、最適制御設定へ一般化すること。

提案手法

• デルタ微分およびデルタ積分を用いて、任意の時間スケール上での問題の定式化。
• 状態、制御、時間に依存する1パラメータ族の変換に対する最適制御問題の不変性の定義。
• 厳密なデルタ微分として表現されるゲージ項を導入し、厳密な不変性を超える不変条件の一般化。
• 時間スケールの最大原理を用いて必要十分な最適性条件（共役方程式および境界条件）を導出。
• 一般化されたネーター型定理を適用し、コステート変数、変換の微分、ゲージ項の組み合わせのデルタ微分が恒等的にゼロであるという形で保存則を導出。
• 具体的な例（車両運動学モデル、異常制御を含む問題）を用いて結果の整合性と適用可能性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的・離散的・量子的状況を含む任意の時間スケール上で定義された最適制御問題に対して、ネーターの定理をどのように拡張できるか？
• RQ2 対称性変換およびラグランジアンにどのような条件が課されると、時間スケール上の最適制御で保存則が得られるか？
• RQ3 ゲージ項（正確なデルタ微分）が、この一般化された設定における保存則にどのように影響を与えるか？
• RQ4 自律的最適制御問題において、時間スケール上でのハミルトニアンと後退跳躍作用素の合成が極値曲線に沿って保存される条件は何か？
• RQ5 一般化されたネーター定理は、時間スケール上での正規および異常最適制御問題の両方に適用可能か？

主な発見

• 本稿では、ラグランジアンが1パラメータ族の変換に関して正確なデルタ微分まで不変である場合、極値曲線に沿って保存則が成立することを確立した。
• 保存則は、コステート変数、変換の微分、ゲージ項の特定の組み合わせのデルタ微分が恒等的にゼロであるという形で表わされる。
• 時間スケール上の自律的システムでは、ハミルトニアンと後退跳躍作用素の合成が、任意の極値曲線に沿って一定である。これは、連続系における古典的結果を一般化するものである。
• 時間スケール上での車両運動学モデルの例では、保存則は時間並進変換下でのハミルトニアンの定数性に対応する。
• 異常制御を含む問題では、乗数λがゼロであっても、ハミルトニアンと後退跳躍作用素の合成が一定のまま保たれることを、本手法が確認した。
• 結果は既知の事例と整合している： 時間スケールが実数直線である場合、古典的最適制御におけるネーターの定理が回復される。