[論文レビュー] Noise effects on dependence on initial data and blow-up for stochastic Euler--Poincaré equations

Hao Tang|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 61被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非線形的乗法的ノイズを伴う確率的エーラー＝ポワンカレ方程式に対するパスワイズ強い解の存在、一意性、および爆発基準を確立する。ノイズが、出退時間の安定性と初期データ依存性の連続性を同時に高めることはできないが、大きなノイズはほとんど確実に爆発を防ぎ、グローバル存在のためのノイズ強度の閾値を提供する。1次元の場合、特定の初期条件のもとで波の破壊の確率と速度を定量的に評価する。

ABSTRACT

In this paper, we first establish the existence, uniqueness and the blow-up criterion of the pathwise strong solution to the periodic boundary value problem of the stochastic Euler--Poincare equation with nonlinear multiplicative noise. Then we consider the noise effects with respect to the continuity of the solution map and blow-up phenomena. As a new setting to analyze initial data dependence, we introduce the concept of the stability of the exiting time (See Definition 1.4 below) and construct an example to show that for the stochastic Euler--Poincare equations, the multiplicative noise (Ito sense) cannot improve the stability of the exiting time and improve the continuity of the dependence on initial data simultaneously. Even though this is not a positive result in terms of dependence on initial data, large noise can actually prevent blow-up with probability 1, and we give an estimate on the noise strength such that global existence and uniqueness can be guaranteed almost surely. For other cases blow-up may happen, we study the the 1-D case, namely the stochastic Camassa--Holm equation. We show that under certain condition on the initial data, wave breaking happens with positive probability and we provide a lower bound of such probability. We also characterize the breaking rate of a breaking solution.

研究の動機と目的

• 非線形的乗法的ノイズを伴う確率的エーラー＝ポワンカレ方程式に対するパスワイズ強い解の存在、一意性、および爆発基準を確立すること。
• 乗法的ノイズが、出退時間の安定性と解の初期データ依存性の連続性に与える影響を調査すること。
• ノイズ強度の定量的閾値を提示することで、大きなノイズがほとんど確実にグローバル存在と一意性を保証する条件を特定すること。
• 特定の初期データ条件のもとで、1次元確率的カマッサ＝ホルム方程式における波の破壊現象を分析し、破壊の確率と速度を評価すること。

提案手法

• 周期的境界条件および非線形的乗法的ノイズを伴う確率的偏微分方程式のパスワイズ強い解理論を用いる。
• 初期データ依存性の評価における新たな枠組みとして、出退時間の安定性の概念を導入する。
• 乗法的ノイズが、出退時間の安定性と初期データ依存性の連続性を同時に改善できないことを示す反例を構成する。
• 解のほとんど確実なグローバル存在と一意性を保証するノイズ強度の下界を導出する。
• 1次元確率的カマッサ＝ホルム方程式を分析し、確率的初期データ条件のもとでの波の破壊現象を研究する。
• 方程式の構造から導かれる解析的推定を用いて、波の破壊を経験する解の破壊速度を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的乗法的ノイズは、確率的エーラー＝ポワンカレ方程式において、出退時間の安定性と初期データ依存性の連続性を同時に改善できるか？
• RQ2 解のほとんど確実なグローバル存在と一意性を保証するノイズ強度の閾値は何か？
• RQ3 1次元確率的カマッサ＝ホルム方程式において、波の破壊がどのような条件下で発生するか、その確率の下界は何か？
• RQ4 波の破壊を経験する解の破壊速度は、どのように振る舞うか？
• RQ5 導入された出退時間の安定性の概念は、非線形ノイズを伴う確率的流体モデルにおける初期データ依存性の分析をどのように洗練させるか？

主な発見

• イ伊ト型の乗法的ノイズは、確率的エーラー＝ポワンカレ方程式において、出退時間の安定性と初期データ依存性の連続性を同時に改善できない。
• 解のグローバル存在と一意性がほとんど確実に保証されるノイズ強度の臨界閾値が存在する。
• 1次元確率的カマッサ＝ホルム方程式において、特定の初期データ条件のもとで波の破壊は正の確率で発生し、その確率の下界が導出された。
• 波の破壊を経験する解の破壊速度は解析的に特徴付けられ、爆発付近での力学的挙動に関する洞察が得られた。
• 本研究は、大きなノイズがほとんど確実に爆発を防ぐことができ、流体型方程式におけるグローバル正則性のための確率的メカニズムを提供することを確認した。
• 導入された出退時間の安定性の概念は、非線形ノイズを伴う確率的偏微分方程式における初期データへの感度分析のための新たな解析的ツールを提供する。