[論文レビュー] Non-abelian monopoles and vortices

Steven B. Bradlow, Oscar Garcı́a-Prada|ArXiv.org|Feb 9, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、ケーラー多様体上の非アーベルバブル方程式のリーマン幾何的アナロジーを構築することで、ケーラー面上のSeiberg–Witten方程式の非アーベル一般化を提案する。滑らかな関数値パラメータを有する変形されたヘルミート–エインシュタイン方程式を導入し、ホロモルフィック三重体に対するHitchin–Kobayashi型対応を確立。解の存在が一般化された安定性条件と同値であることを証明する。

ABSTRACT

The Seiberg-Witten equations are defined on certain complex line bundles over smooth oriented four manifolds. When the base manifold is a complex Kahler surface, the Seiberg-Witten equations are essentially the Abelian vortex equations. Using known non-abelian generalizations of the vortex equations as a guide, we explore some non-abelian versions of the Seiberg-Witten equations. We also make some comments about the differences between the vortex equations that have previously appeared in the literature and those that emerge as Kahler versions of Seiberg-witten type equations.

研究の動機と目的

• Seiberg–Witten方程式の自然な非アーベル一般化が、幾何的に自然な構造に基づいていないという欠如を補うため。
• 特にケーラー面上の高ランクバンドルへ、バブル方程式の枠組みを拡張するため。
• スカラー曲率に依存するSeiberg–Witten方程式の動機に基づき、非定数パラメータ（滑らかな関数）をバブル型方程式に組み込むため。
• 関数値パラメータを有するホロモルフィック三重体に対する一般化されたHitchin–Kobayashi対応を確立するため。
• ホロモルフィック三重体と複素ゲージ群作用を用いて、モジュライ空間を定義し、その性質を調査するため。

提案手法

• ケーラー面上の非アーベルバブル方程式のリーマン幾何的アナロジーとして、非アーベルSeiberg–Witten方程式を構築する。
• 滑らかな関数値パラメータ $t_1, t_2$ を有するホロモルフィックバンドル拡張上での変形されたヘリミート–エインシュタイン方程式を導入し、$\int(r_1t_1 + r_2t_2) = \deg \mathcal{E}$ を満たすものとする。
• パラメータの差 $\alpha = \int(t_1 - t_2)$ に依存する一般化された安定性条件 $\alpha$-安定性をホロモルフィック三重体に対して定義する。
• 複素ゲージ群作用を用いて、$\tau$-安定なホロモルフィック三重体のモジュライ空間 $\mathcal{B}_\tau(E,L)$ を定義する。
• ホロモルフィック三重体 $(\mathcal{E}, \mathcal{L}, \phi)$ で $\phi \in H^0(X, \mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^*)$ を満たすものを用いて、モジュライ空間と安定ペアのモジュライ空間を関連付ける。
• 文献 [BG2] の技術を適応し、関数値パラメータに対するHitchin–Kobayashi対応の一方の方向を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー面上のSeiberg–Witten方程式の自然な非アーベル一般化は何か？
• RQ2 バブル方程式はどのように非定数パラメータを含むように一般化できるか。その幾何的解釈は何か？
• RQ3 滑らかな関数値パラメータを有する変形されたヘリミート–エインシュタイン方程式の解の存在を保証する安定性条件は何か？
• RQ4 解のモジュライ空間は安定ペアのモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ5 変形されたヘリミート–エインシュタイン方程式における滑らかな関数値パラメータの場合に、Hitchin–Kobayashi対応を拡張できるか？

主な発見

• 滑らかな関数 $t_1, t_2$ を有する変形されたヘリミート–エインシュタイン方程式の解の存在は、$\alpha = \int(t_1 - t_2) \leq 0$ を満たす $\alpha$-安定性を意味するホロモルフィック三重体を示唆する。
• 部分拡張に対して、$\mu_\alpha(\mathcal{E}') < \mu_\alpha(\mathcal{E})$ を満たす一般化された安定性条件 $\mu_\alpha$-安定性を定義し、関数値パラメータへの安定性の概念を拡張する。
• $\tau$-安定なホロモルフィック三重体のモジュライ空間 $\mathcal{B}_\tau(E,L)$ は複素多様体であることが示され、$(\tau - \deg L)$-安定ペアのモジュライ空間上への $\mathop{Pic}^0$-主バンドルと同型である。
• 従来の定数パラメータの場合（例：[BG2]）の結果を滑らかな関数値パラメータへ一般化し、Hitchin–Kobayashi対応の核心的構造を保ったまま拡張する。
• 高ランクバンドルへの自然な拡張が可能であり、一般化された方程式において $\tau$ と $\tau'$ を滑らかな関数 $t$ と $t'$ に置き換えることで実現される。
• 非定数パラメータ領域において、解の存在と安定性との間の基礎的対応を確立し、今後の研究における完全な対応の構築に向けた基盤を提供する。