[論文レビュー] Non-Additivity of the Entanglement of Purification (Beyond Reasonable Doubt)

Jianxin Chen, Andreas Winter|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、正則化された純粋性の量子もつれ（EoP）とフォン・ノイマンエントロピーの差 $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ の凸性を証明することで、EoP が加法的でないことを強力な証拠で示している。2-qubit ワイナー状態の数値解析により、$E_P^\infty(W(0.005)) < E_P(W(0.005))$ であることが示され、正則化値のベンチマーク上限が 0.9663 であるのに対し、数値的推定では単一コピーの EoP がこれを上回っているため、加法的でないことはほとんど疑いの余地がない。

ABSTRACT

We demonstrate the convexity of the difference between the regularized entanglement of purification and the entropy, as a function of the state. This is proved by means of a new asymptotic protocol to prepare a state from pre-shared entanglement and by local operations only. We go on to employ this convexity property in an investigation of the additivity of the (single-copy) entanglement of purification: using numerical results for two-qubit Werner states we find strong evidence that the entanglement of purification is different from its regularization, hence that entanglement of purification is not additive.

研究の動機と目的

• 量子情報理論における主要な測度である純粋性の量子もつれの加法性を調査すること。これは混合状態における全相関を定量化する。
• 正則化された純粋性の量子もつれ（$E_P^\infty$）が単一コピーの純粋性の量子もつれ（$E_P$）と等しいかどうかを特定すること。これは1方向のLOCCにおけるもつれコストのシングルレター式の成立を意味する。
• 正則化された $E_P^\infty$ の境界を求めるための厳密な解析的枠組みを提供すること。この枠組みは、$E_P^\infty - S(\rho)$ の凸性に依存する。
• 2-qubit ワイナー状態における $E_P(\rho)$ と $E_P^\infty(\rho)$ の振る舞いを数値的に調査し、潜在的な非加法性を検出すること。

提案手法

• 局所操作と事前に共有されたもつれを用いた新しい漸近的プロトコルを構築することで、$E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ が $\rho$ に関して凸であることを証明する。
• 凸性を非加法性の検出に用いる十分条件とする：もし $E_P(\rho) - S(\rho)$ が凸でなければ、$E_P^\infty(\rho) \neq E_P(\rho)$ である。
• 局所的最小値を実行可能な上界として用いることで、ワイナー状態 $W(\theta)$ における $E_P(\rho)$ の上界を数値最適化により計算する。
• ベンチマークを確立：$\rho = W(0)$ と $\rho = W(0.01)$ に凸性不等式を適用することで、$E_P^\infty(W(0.005)) \leq 0.9663$ を得る。
• 数値的推定値 $E_P(W(0.005)) \gtrsim 0.99$ を上記の上界 0.9663 と比較し、非加法性を推論する。
• ホロデckiとピアーニ（2012年）のモノガミー恒等式を用いて、EoP の非加法性と、密度符号化における量子優位性の非加法性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋性の量子もつれは加法的か。すなわち、すべての双粒子混合状態について $E_P(\rho \otimes \sigma) = E_P(\rho) + E_P(\sigma)$ が成り立つか。
• RQ2 正則化された $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ の凸性は、純粋性の量子もつれの非加法性を検出するために用いられるか。
• RQ3 2-qubit ワイナー状態について、$\theta$ が小さいとき $E_P^\infty(W(\theta))$ と $E_P(W(\theta))$ は厳密に異なるか。
• RQ4 ある $n$ の最小値は何か。そのとき $\frac{1}{n}E_P(\rho^{\otimes n}) < E_P(\rho)$ となるか。この値は推定可能か。
• RQ5 純粋性の量子もつれの非加法性は、密度符号化における量子優位性の非加法性を示唆するか。

主な発見

• $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ が $\rho$ に関して凸であることが示され、非加法性を調べる強力な解析的ツールが確立された。
• 数値的結果により、$E_P(W(0.01)) \leq 0.9226$ であり、$E_P(W(0)) = 1$ であるため、凸性のテストに適したベンチマークが得られた。
• 凸性を用いて、$E_P^\infty(W(0.005)) \leq 0.9663$ の上界が導出された。これは $W(0)$ と $W(0.01)$ の平均に適用した。
• 数値的推定では $E_P(W(0.005)) \gtrsim 0.99$ であり、0.9663 の上界を上回っているため、$E_P^\infty(W(0.005)) < E_P(W(0.005))$ であると示唆される。
• これは、純粋性の量子もつれが非加法的であるという強い数値的証拠を提供しており、著しい数値誤差がなければほとんど疑いの余地がない。
• この結果は、特定のワイナー状態において、密度符号化における量子優位性が非加法的であることを示し、ホロデckiとピアーニ（2012年）が提起した疑問を解決する。