[論文レビュー] Non-Asymptotic Gaussian Estimates for the Recursive Approximation of the Invariant Measure of a Diffusion

Igor Honoré, Stéphane Menozzi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間ステップが減少する再帰的Euler型スキームを用いた拡散過程の不変分布とその経験測度との間の偏差について、非漸近的ガウス型濃度評価を確立する。計算可能な信頼区間を導出し、コバウンダリ構造とリャプノフ関数を用いた条件下で、確率的中央極定理の非漸近的偏差評価に応用する。

ABSTRACT

We obtain non-asymptotic Gaussian concentration bounds for the difference between the invariant measure $ν$ of an ergodic Brownian diffusion process and the empirical distribution of an approximating scheme with decreasing time step along a suitable class of (smooth enough) test functions f such that f -- $ν$(f) is a coboundary of the infinitesimal generator. We show that these bounds can still be improved when the (squared) Fr{ö}benius norm of the diffusion coefficient lies in this class. We apply these bounds to design computable non-asymptotic confidence intervals for the approximating scheme. As a theoretical application, we finally derive non-asymptotic deviation bounds for the almost sure Central Limit Theorem.

研究の動機と目的

• 再帰的スキームの不変分布 ν と経験測度 νₙ の差に対する非漸近的濃度評価を導出すること。
• テスト関数に対してコバウンダリ構造を満たす条件下で、スキームの経験平均に対する計算可能な非漸近的信頼区間を設計すること。
• 提案された濃度推定を用いて、非漸近的偏差評価を伴う確率的中央極定理を拡張すること。
• 拡散係数の勾配の二乗ノルムがテスト関数と同じ関数クラスに属する場合の境界の改善を図ること。
• 定数ステップサイズスキームに起因するバイアスなしに、経験測度が不変分布に収束するレートに対する理論的保証を確立すること。

提案手法

• 著者らは、時間ステップが減少する再帰的Euler型離散化（γₖ）と、3次モーメントまで一致するガウス的ノイズを用いる。
• 無限小生成作用素 A のコバウンダリとして f − ν(f) を満たすテスト関数 f に対して、νₙ(f) − ν(f) の偏差を分析する。
• 主な技術は、ポisson方程式 Aφ = f − ν(f) を解き、その結果得られる φ を用いてマルティンゲールおよびリャプノフ関数の議論により偏差を制御することである。
• AV ≤ β − αV を満たすリャプノフ関数 V を用いて、ガウス型濃度評価を導出する。ここで α > 0 であることにより、エルゴディシティおよびモーメントの有界性が保証される。
• |σ∇φ|² が f − ν(f) と同じ関数クラスに属する場合には、境界がさらに精緻化され、よりタイトな分散推定が可能になる。
• 境界のタイトさと信頼区間の性能を評価するために、モンテカルロシミュレーションによる数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間ステップが減少するEulerスキームの経験測度に対して、非漸近的ガウス型濃度評価を確立できるか？
• RQ2 拡散係数の勾配の二乗ノルムがテスト関数と同じ関数クラスに属する場合、これらの評価はどのように改善できるか？
• RQ3 経験測度が不変分布に収束するレートは、偏差確率の観点からどの程度か？
• RQ4 導出された境界を用いて、スキームの経験平均に対する計算可能で非漸近的な信頼区間を構築できるか？
• RQ5 本フレームワークを用いて、確率的中央極定理に対する非漸近的偏差評価をどのように導出できるか？

主な発見

• コバウンダリ条件 f − ν(f) = Aφ の下で、リャプノフ関数および生成作用素の性質に明示的な依存を持つ、νₙ(f) − ν(f) に対する非漸近的ガウス型濃度評価が確立された。
• |σ∇φ|² が f − ν(f) と同じクラスに属する場合には、境界が改善され、よりタイトな分散推定が得られた。
• 経験平均に対する計算可能な非漸近的信頼区間が導出された。n = 5×10⁴ のシミュレーションにおいて、95%信頼区間の幅は 4.75054×10⁻⁵ であった。
• 確率的中央極定理に対する理論的偏差評価が得られ、古典的結果が非漸近的領域へと拡張された。
• シミュレーションにより、理論的境界 Sσ(a) = −a²α²/(2[f]₁²) が経験的対数確率曲線 gₙσ(a) の上に位置することを確認し、濃度不等式の妥当性が裏付けられた。
• 定数ステップサイズスキームに起因するバイアスを回避し、ν(f) の明示的知識なしに、エルゴディック平均による推定により、νₙ が ν に確率的にほぼ必ず収束することが保証された。