[論文レビュー] Non-asymptotical sharp exponential estimates for maximum distribution of discontinuous random fields

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Orlicz空間およびバナッハ空間ノルムを用いて、不連続な確率場の最大値の尾部分布に対する非漸近的で鋭い指数的推定値を提示する。モーメント母関数とヤング＝フェンヒェル変換を活用することで、指数的減衰率において正確な上界と下界が得られ、単位立方体上での同分布独立確率場のノルム付き和に適用可能であり、確率場のモーメント母関数および尾部挙動に明示的な依存関係を有する。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical bilateral sharp exponential estimates for tail of maximum distribution of {\it discontinuous} random fields. Our consideration based on the theory of Prokhorov-Skorokhod spaces of random fields and on the theory of multivariate Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions.

研究の動機と目的

• 不連続な確率場の最大値分布の尾部に対する非漸近的で鋭い指数的推定値を導出すること。
• 重尾または不連続な増分を示す確率場の最大値に対して、指数的減衰率において正確な上界と下界を確立すること。
• 多変量確率場への $ B(\theta) $-空間理論の拡張を行い、同分布独立確率場のノルム付き和への応用を図ること。
• 確率場の自然なモーメント母関数を用いて、最大値分布に対する構成的で計算可能な境界を提供すること。

提案手法

• 著者らは、中心化された確率変数のモーメント母関数から導かれるノルムを用いて、ヤング＝オルリッチ関数 $ \theta $ を用いたバナッハ空間 $ B(\theta) $ を定義する。
• 尾部挙動の特徴づけにはヤング＝フェンヒェル変換 $ \theta^* $ を用い、$ \theta $ と尾部の指数的減衰率との関連を確立する。
• 確率場 $ \xi(t) $ に対して、自然関数 $ \phi_0(\lambda) = \sup_t \log \mathbb{E}[e^{\lambda \xi(t)}] $ を用いて、確率場のモーメント母関数を定義する。
• この手法では、正規化和 $ S_n(t) $ のモーメント生成関数に基づく関数 $ g_n(p) $ を構築し、最大値の尾部の指数的減衰を制御する。
• 上界は $ p \in (0,1) $ における最小化により得られ、$ Q_n(T,u) \leq \inf_p \exp[g_n(p) - \phi_n^*(u(1-p))] $ が得られる。ここで $ \phi_n^* $ は $ \phi_n $ の凸共役関数である。
• 下界は、$ B(\theta) $-ノルムが 1 であるような確率変数 $ \rho $ の構成を用い、$ \mathbb{P}(\rho > x(n)) \geq C \exp(-\theta^*(x(n))) $ を満たすようにし、これを確率場へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な確率場の最大値分布の尾部に対する鋭い非漸近的指数的境界は何か？
• RQ2 確率場のモーメント母関数を用いて、最大値分布の正確な指数的減衰率をどのように導出できるか？
• RQ3 最大値分布に対して、指数的漸近減衰率と一致する形で上界と下界を構成可能か？
• RQ4 ヤング＝フェンヒェル変換は、確率場の尾部挙動を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 これらの推定値は、単位立方体上での同分布独立確率場の正規化和に対してどのように振る舞うか？

主な発見

• 正規化和 $ S_n(t) $ の最大値分布に対する上界は、$ Q_n(T,u) \leq \inf_{p \in (0,1)} \exp[g_n(p) - \phi_n^*(u(1-p))] $ で与えられ、ここで $ \phi_n(\lambda) = n \phi(\lambda / \sqrt{n}) $ である。
• すべての $ n $ における上界の上限に対して、$ Q(T,u) \leq \inf_p \exp[\overline{g}(p) - \overline{\phi}^*(u(1-p))] $ が得られ、ここで $ \overline{\phi}(\lambda) = \sup_n n \phi(\lambda / \sqrt{n}) $ である。
• 十分大きな $ u $ に対して、$ \mathbb{P}(\sup_t S_n(t) > u) \geq \exp(-c u^2) $ が成り立ち、やや弱い分散条件のもとで指数的減衰の鋭さが示される。
• 推定値は、$ \phi^* $ と尾部分布との逆関係によって確認されるように、正確な漸近的挙動と一致する指数的減衰率を持つという意味で鋭い。
• ノルムが 1 であるような確率変数 $ \rho $ の構成、すなわち $ \|\rho\|_{B(\theta)} = 1 $ かつ $ \mathbb{P}(\rho > x(n)) \geq C \exp(-\theta^*(x(n))) $ を満たすものにより、下界のタイトさが裏付けられる。
• これらの結果は、不連続または重尾の確率場にも適用可能であり、マルコフ連鎖モンテカルロ法や多パラメータ積分の統計的推論において有用である。