[論文レビュー] Non-autonomous interacting particle systems in continuum

Martin Friesen|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Foster-Lyapunov 条件と遷移核の弱連続性を用いて、連続体における非定常・時不均一な相互作用粒子系に対して、保存的 Feller 動きを構築する。主な貢献は、$​\mathbb{R}^d$ における有限粒子系の配置空間上で、空間的構造を持つ一般の誕生・消滅ダイナミクスに適用可能な、Feller過程の厳密な存在および一意性を示すことである。

ABSTRACT

A conservative Feller evolution on continuous bounded functions is constructed from a weakly continuous, time-inhomogeneous transition function describing a pure jump process on a locally compact Polish space. The transition function is assumed to satisfy a Foster-Lyapunov type condition. The results are applied to interacting particle systems in continuum, in particular to general birth-and-death processes (including jumps). Particular examples such as the BDLP and Dieckmann-Law model are considered in the end.

研究の動機と目的

• 局所コンpakto なポーランド空間上の非定常・純ジャンプマコフ過程に対して、保存的 Feller 動きを確立すること。
• 粒子の位置が $\\mathbb{R}^d$ で連続である連続体における非定常相互作用粒子系に、半群法を拡張すること。
• 空間的相互作用を伴う一般の誕生・消滅過程（BDLP や Dieckmann-Law モデルを含む）のための厳密な数学的枠組みを提供すること。
• Foster-Lyapunov 型条件と遷移核の弱連続性の下で、Feller 性質および強い Feller 正則性を保証すること。
• 抽象的な結果を、空間的構造を持つ数学的生態学および集団動態の具体モデルに応用すること。

提案手法

• 局所コンパクトなポーランド空間 $E$ 上の有界連続関数の空間 $C_b(E)$ 上で、時間に依存する生成作用素 $L(t)$ を、遷移核 $Q(t,x,dy)$ を用いて構成する。
• ジャンプ強度の尾部挙動を制御し、確率的に有界性を保証するために、Foster-Lyapunov 条件を課す。
• 空間的・時間的変動における遷移核 $Q(t,x,dy)$ の弱連続性を仮定することで、進化の正則性を保証する。
• 古典的結果 [20, 23, 17] を応用して、$C_b(E)$ 上の保存的 Feller 動き系 $U(s,t)$ を構成する。
• コンパクト包含推移による Feller 性質の確立と、時間区間全体にわたる一様な制御を実現する。
• $​\mathbb{R}^d$ 内の有限粒子配置の配置空間 $\Gamma_0$ を取り扱い、粒子のジャンプおよび誕生・消滅事象をカーネル $K(\xi,\eta,d\zeta)$ で記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトなポーランド空間上での非定常・時不均一な純ジャンプ過程に対して、保存的 Feller 動きを構築できるか？
• RQ2 時間に依存する遷移核 $Q(t,x,dy)$ が、配置空間 $\Gamma_0$ 上でどのような条件下で Feller 時間発展を生成するか？
• RQ3 Foster-Lyapunov 基準を非定常系にどのように適合させ、緊密性と正則性を保証できるか？
• RQ4 空間的ダイナミクスを伴う連続体における相互作用粒子系の文脈で、Feller 性質の十分条件は何か？
• RQ5 BDLP や Dieckmann-Law モデルのような具体例において、空間的に分布する粒子相互作用を持つ系に、結果をどのように応用できるか？

主な発見

• Foster-Lyapunov 条件と遷移核の弱連続性の下で、時間不均一な純ジャンプ過程に対して、$C_b(E)$ 上に保存的 Feller 動き系 $U(s,t)$ が構成された。
• コンパクト包含による Feller 性質の確立：任意の $T>0$、コンパクト集合 $B\subset E$、$\varepsilon>0$ に対して、$t\in[0,T]$ および $\eta\in B$ に対して $Q(t,\eta,A^c)<\varepsilon$ を満たすコンパクト集合 $A\subset E$ が存在する。
• この構成により、状態空間 $E$ 上の関連するハント過程の存在および一意性が保証され、古典的半群法が非定常設定に拡張された。
• この手法は、$​\mathbb{R}^d$ 内の有限粒子系の配置空間 $\Gamma_0$ に適用可能であり、空間的構造を持つ誕生・消滅過程の厳密な解析を可能にする。
• ジャンプ率カーネルの十分な減衰性が保証されれば、Foster-Lyapunov 条件は検証可能であり、たとえば $a^+(t,x) \leq C(t)/(\lambda(t)+|x|^2)^\alpha$ で $\alpha > d/2$ の場合が該当する。
• 本結果は、格子モデルに関する先行研究を一般化し、非定常かつ空間連続な粒子系へのコルモゴロフ方程式の適用範囲を拡張する。