[論文レビュー] Non-commutative Edmonds' problem and matrix semi-invariants

Gábor Ivanyos, Youming Qiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 50被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有理数体上の非可換エーデルシュ問題に対する決定的多項式時間アルゴリズムを、行列半不変量の境界に基づいて提示する。$ R(n,m) $ のノンコーンは、次数が高々 $ (n+1)! $ の不変量によって定義され、非可換フルランクを決定する $ \mathrm{poly}(n, (n+1)!) $-時間アルゴリズムが得られ、従来の境界を改善し、代数的閉体でない正の特徴を持つ体へも拡張可能である。

ABSTRACT

In 1967, Edmonds introduced the problem of computing the rank over the rational function field of an $n imes n$ matrix $T$ with integral homogeneous linear polynomials. In this paper, we consider the non-commutative version of Edmonds' problem: compute the rank of $T$ over the free skew field. It is known that this problem relates to the ring of matrix semi-invariants. In particular, if the nullcone of matrix semi-invariants is defined by elements of degree $\leq σ$, then there follows a $\mathrm{poly}(n, σ)$-time randomized algorithm to decide whether the non-commutative rank of $T$ is $

研究の動機と目的

• 非可換線形形式を係数とする自由斜体上での行列のランクを計算する非可換エーデルシュ問題を、行列半不変量の不変量論と結びつけることにより解くこと。
• 行列 $ n\times n $ の $ m $ 重組に対する $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $-作用のノンコーンを定義する多項式の次数に対するタイトな上界を確立すること。
• ノンコーンの定義不変量の次数が有界であるという仮定の下で、行列の非可換ランクが $ n $ より小さいかどうかを決定する決定的アルゴリズムを開発すること。
• 代数的閉体を仮定しない正の特徴を持つ体に対しても、非可換ランクアルゴリズムの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、$ R(n,m) $ のノンコーンを定義する不変量の次数に上限 $ \sigma $ が存在すると仮定し、Gurvitsの非可換ランク計算アルゴリズムを用いることで、$ \mathbb{Q} $ 上で $ \mathrm{poly}(n,\sigma) $-時間の決定的アルゴリズムを達成する。
• 2番目の Wong系列と正則性補題に基づく新しいアルゴリズムを構築し、テンソル積による $ M(d,\mathbb{F}) $ を用いた構造的な行列挙上を介して、行列空間内のランクを段階的に増加させる。
• 主な技術的ステップは、ランク $ s < n $ である任意の行列空間 $ \mathcal{B} \leq M(n,\mathbb{F}) $ に対して、$ d' \leq (n+1)!/(s+1)! $ が存在し、$ \mathcal{B} \otimes M(d',\mathbb{F}) $ がランク $ rd' $ の行列を含むことを示すことである。ここで $ r = n - s $ である。
• 第二の Wong系列と $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $ の作用の構造的性質を用いて、正の特徴を持つ体でも成り立つように、$ R(n,m) $ のノンコーンが高々 $ (n+1)! $ 次の不変量によって定義されることを示す。
• 反復的ランク増幅（$ A^{\prime\prime} $ の構成）と、2次元行列空間内でのより高いランクの行列を特定するための Lemma 5.7（正則性補題）の適用を用いる。
• 可換ランクと非可換ランクの差が定数であれば、非可換ランクを計算するための効率的なランダム化アルゴリズムが存在することを示し、Fortin と Reutenauer の等価性テストに関する先行研究を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノンコアのエーデルシュ問題が、行列半不変量のノンコーンを定義する不変量の次数に上限が存在するという仮定の下で、有理数体 $ \mathbb{Q} $ 上で決定的多項式時間で解けるか。
• RQ2 ノンコーン $ R(n,m) $ が高々 $ \sigma $ 次の不変量によって定義される最小の $ \sigma $ は何か。また、この境界は正の特徴を持つ体上でも明示的に示せるか。
• RQ3 可換ランクと非可換ランクの差が定数であれば、非可換ランクを計算するための効率的なランダム化アルゴリズムが存在するか。
• RQ4 初期行列がフルランクでない場合でも、第二の Wong系列を用いて行列空間内の行列ランクを増加させる決定的アルゴリズムを構築できるか。
• RQ5 代数的閉体を仮定しない場合でも、$ \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) \times \mathrm{SL}(n,\mathbb{F}) $-作用が $ n\times n $ 行列の $ m $ 重組に作用する半不変量の次数を有界にできるか。

主な発見

• 行列半不変量の環 $ R(n,m) $ のノンコーンは、高々 $ (n+1)! $ 次の不変量によって定義され、正の特徴を持つ体上でのこの不変量環の最初の明示的次数境界を提供する。
• $ \mathbb{Q} $ 上では、次数境界 $ \sigma = (n+1)! $ を仮定することで、Gurvitsのアルゴリズムを用いて非可換フルランク問題を $ n $ と $ (n+1)! $ の多項式時間で決定的に解ける。
• 可換ランクと非可換ランクの差が定数であれば、非可換ランクを計算するための効率的なランダム化アルゴリズムが存在し、従来の等価性テストに比べて改善される。
• ランク増幅のためのアルゴリズムは、$ n $ と $ d $ の多項式時間で動作し、ここで $ d = (n+1)!/(s+1)! $ であり、$ \mathrm{poly}(n,d) $ 個の算術演算を用い、$ \mathbb{Q} $ 上の入力サイズ、$ n $、$ d $ の多項式時間のビット複雑性を持つ。
• $ \sigma \leq (n+1)! $ の境界は、代数的閉体でない特徴 0 の体上で既存の最良境界 $ O(n^2 \cdot 4^{n^2}) $ よりも改善され、代数的閉体の必要性が不要になる。
• 結果は正の特徴を持つ体へも拡張可能であり、$ |\mathbb{F}| = \Omega(nd) $ を満たす限り、$ (n+1)! $ の次数境界は、体の代数的閉包やサイズにかかわらず有効である。