[論文レビュー] Non-commutative extensions of two-dimensional topological field theories and Hurwitz numbers for real algebraic curves

Andrei V. Alexeevski, S. M. Natanzon|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、非可換な2次元トポロジカル場理論を非可定向な曲面へ拡張するためのKleinトポロジカル場理論（KTFT）を導入する。KTFTと構造代数（非可換Frobenius代数に加えて、自己対合的反自己同型と特別な元Uを備えたもの）との間に一対一対応が確立され、特に実代数的曲線のHurwitz数（指定された分岐型を持つ分岐被覆を数えるもの）が、対称群S_nの構造代数に同型であるKTFTの相関関数として与えられることを示している。

ABSTRACT

It is well-known that classical two-dimensional topological field theories are in one-to-one correspondence with commutative Frobenius algebras. An important extension of classical two-dimensional topological field theories is provided by open-closed two-dimensional topological field theories. In this paper we extend open-closed two-dimensional topological field theories to nonorientable surfaces. We call them Klein topological field theories(KTFT). We prove that KTFTs bijectively correspond to algebras with certain additional structures, called structure algebras. Semisimple structure algebras are classified. Starting from an arbitrary finite group, we construct a structure algebra and prove that it is semisimple. We define an analog of Hurwitz numbers for real algebraic curves and prove that they are correlators of a KTFT. The structure algebra of this KTFT is the structure algebra of the symmetric group.

研究の動機と目的

• 2次元トポロジカル場理論を非可定向な曲面へ拡張するため、Kleinトポロジカル場理論（KTFT）を導入すること。
• 構造代数（自己対合的反自己同型、可換部分代数とイデアルへの分解、特別な元Uを備えた非可換Frobenius代数）を定義・分類し、KTFTに対応させること。
• KTFTと構造代数の間の一対一対応を確立し、閉じたTFTと可換Frobenius代数の既知の対応を一般化すること。
• 実代数的曲線のHurwitz数を位相的言語で定義し、それが特定のKTFTの相関関数として生じることを示すこと。
• このHurwitz KTFTの構造代数が対称群S_nの構造代数と同型であることを示すこと。

提案手法

• KTFTを、内部および境界の特別な点を持つコンパクトな区分的曲面の圏から構造代数上のテンソルへのファンクターとして定義し、位相的不変性を満たすものとする。
• 構造代数を、非退化な不変双線形形式を備えた結合的非可換代数として定義し、可換部分代数とイデアルへの分解、自己対合的反自己同型、および特別な元Uを備えるものとする。
• 有限群から構造代数を構成し、S_nの構造代数が半単純であり、Hurwitz KTFTの代数として機能することを証明する。
• 実代数的曲線上の区分的被覆（内部および境界の特別な点を備える）を定義し、非可定向および境界に埋め込まれた構造を含む古典的分岐被覆の一般化とする。
• Hurwitz数を、同型類ごとの重み（自己同型群の逆数）を考慮した被覆の重み付き数え上げとして定義する。
• これらのHurwitz数が、S_nの構造代数における代数的演算で明示的に表されるKTFTの相関関数に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トポロジカル場理論は、非可定向な曲面へどのように拡張可能であり、それに対応する代数的構造は何か？
• RQ2 Kleinトポロジカル場理論を特徴付ける構造代数の代数的特徴付けは何か？また、閉じたTFTの可換Frobenius代数とはどのように一般化されるか？
• RQ3 実代数的曲線のHurwitz数は、純粋に位相的言語で定義・計算可能か？また、トポロジカル場理論の相関関数として生じるか？
• RQ4 有限群の構造代数とそれに対応するKTFTとの関係は何か？特に対称群S_nの場合についてどのように関係するか？
• RQ5 Hurwitz KTFTの相関関数は、内部および境界点における分岐被覆の組合せ論およびヤング図形とどのように関係するか？

主な発見

• KTFTは、自己対合的反自己同型、可換部分代数とイデアルへの分解、特別な元Uを備えた非可換Frobenius代数（構造代数）と一対一対応する。
• 半単純な構造代数は分類可能であり、任意の有限群Gに対して半単純な構造代数が構成可能である。特に、対称群S_nはHurwitz KTFTの構造代数をもたらす。
• 内部および境界点における指定された分岐型を持つ分岐被覆の同型類の数を数える実代数的曲線のHurwitz数は、KTFTにおける相関関数に等しいことが示された。
• 型G = (g,1,m,m1,…,ms) の区分的曲面に対するHurwitz数は、代数的演算 (α1…αm (β1¹…βm1¹) V_K_B(β1²…βm1²)…V_K_B(β1^s…βms^s), K_A^g) を含む式で与えられる。ここでV_K_BおよびK_Aは代数的演算である。
• 型G = (g,0,m,m1,…,ms) の曲面に対するHurwitz数は (α1…αm (β1¹…βm1¹) V_K_B(β1²…βm1²)…V_K_B(β1^s…βms^s), U^{2g}) で与えられ、U^{2g}は非可定向な寄与を表す。
• Hurwitz KTFTの構造代数は対称群S_nの構造代数と同型であり、Gが任意の有限群である場合のG-Hurwitz数に対しても同様の式が成り立つ。