[論文レビュー] Non-commutative Two Dimensional Modular Symbol

Ivan Horozov|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、膜（2次元多様体）上の反復積分を用いて非可換な2次元モジュラー記号を導入し、Chenの経路反復の一般化を行う。$SL(3,\mathbb{Z})$ および実二次体 $K$ に対する $SL_2/K$ について非アーベルモジュラー記号を構成し、ヒルベルトモジュラー形式の反復積分に対するモチーフ的解釈を提供するとともに、類数1のCM体および虚二次体に対してモチーフ的構造を有する複数の完了したデデキンドゼータ関数を定義する。

ABSTRACT

We define iteration over a two dimensional manifold as analog of iteration over a path defined by Chen. We give several applications. Some of them include constructions of non-abelian modular symbol for $SL(3,\Z)$ and for $SL_{2/K}$, where $K$ is a real quadratic field. We construct the latter as generating series of iterated integrals over a two-dimensional manifold of Hilbert modular forms. We give a motivic interpretation of this non-abelian modular symbol. Other applications give motivic interpretations of certain iterated completed Dedekind zeta functions.

研究の動機と目的

• 経路から2次元膜へChenの反復積分フレームワークを非アーベルモジュラー記号へ拡張すること。
• $SL(3,\mathbb{Z})$ および $K$ を実二次体とする $SL_2/K$ について非アーベルモジュラー記号を構成すること。
• 2次元膜上でのヒルベルトモジュラー形式の反復積分に対するモチーフ的解釈を提供すること。
• 類数1の数体に対して複数の完了したデデキンドゼータ関数を定義し、解釈すること。
• 4次元の完全実体およびCM体で類数1のものについて、これらのゼータ関数が混合テイトモチーフに対応するとの予想を立てる。

提案手法

• 微分2形式を用いて $\mathbb{R}^2$ 内の長方形上での反復積分を定義し、積分がすべて非ゼロのとき、ホップ代数 $R_A$ を得る。
• 境界条件をホモトピーに関して固定した連続的かつ区分的滑らかな写像 $\theta$ による長方形の像として得られる膜 $M$ に一般化する。
• 膜の水平 ($\times_1$) および垂直 ($\times_2$) 組み合わせを導入し、ホップ代数または環への生成関数 $J_M$ へ拡張する。
• 膜をホモトピーに関して分類するための基本的2群体 $\Pi_2(X)$ を用い、それ上のファイブレーション構造を構築する。
• 膜上での反復積分の生成関数 $J_M$ を構成し、$SL_3(\mathbb{Z})$ に対してコサイクル条件を満たすことを示す。
• 数体 $K$ のアデレール膜 $M$ 上でのシータ関数 $\theta_K(z_1,z_2)$ のメリン変換を用いて、複数の完了したデデキンドゼータ関数を定義し、$\hat{\zeta}_K(s_1,\dots,s_d,\sigma)$ を $\frac{1}{d}(\theta_K-1)(-z_1z_2)^s$ 形式の積分として与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元膜上での反復積分は、$SL(3,\mathbb{Z})$ に対して非アーベルモジュラー記号を提供できるか？
• RQ2 膜反復の枠組みは、実二次体上のヒルベルトモジュラー形式へ拡張可能か？
• RQ3 反復積分 $\theta_K(z_1,z_2)$ を用いて定義された複数の完了ゼータ関数は、モチーフ的解釈を有するか？
• RQ4 変数が正の整数または偶数整数のとき、これらのゼータ関数のモチーフ的性質は何か？
• RQ5 類数1の体に対して、これらのゼータ関数に関連するモチーフは混合テイトか？

主な発見

• 反復積分の生成関数 $J_M$ は、積分がゼロかどうかに応じてホップ代数または環の構造をなす。
• 境界条件を固定したもとで、膜上での反復積分はホモトピー不変であり、基本的2群体 $\Pi_2(X)$ 上のファイブレーションを定める。
• $SL(3,\mathbb{Z})$ に対して、生成関数 $J_M$ は $\times_1$ および $\times_2$ 組み合わせによりコサイクル条件を満たす。
• 複数の完了したデデキンドゼータ関数 $\hat{\zeta}_K(s_1,\dots,s_d)$ は、$s_i$ が正の整数のとき、特に $K$ が類数1のとき、モチーフ的解釈を有する。
• $K=\mathbb{Q}$ および類数1の虚二次体に対して、ゼータ関数は混合テイトモチーフに対応する。
• 本稿では、4次元の完全実体またはCM体で類数1のものについて、関連するモチーフが混合テイトであると予想する。