[論文レビュー] Non-compact quantum groups arising from Heisenberg type Lie bialgebras

Byung-Jay Kahng|ArXiv.org|Apr 3, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ヘイゼンベルク型のリーダイアルゲブラから非コンパクトな量子群を構成する。まず、線形ブラケットのコycle摂動によって双対ポアソン–リー群構造を実現し、その後、厳密な変形量子化をなすねじれ付き群C*-代数を構築する。主な貢献は、このC*-代数上に、comultiplication、counit、antipode、ハール測度、および準三角的R行列を含む、局所コンパクトな量子群構造の明示的構成であり、これはリーダイアルゲブラレベルでの古典的準三角的性質と整合的である。

ABSTRACT

The dual Lie bialgebra of a certain ``quasitriangular'' Lie bialgebra structure on the Heisenberg Lie algebra determines a (non-compact) Poisson--Lie group G. The compatible Poisson bracket on G is non-linear, but it can still be realized as a ``cocycle perturbation'' of the linear Poisson bracket. We construct a certain twisted group C*-algebra A, which is shown to be a strict deformation quantization of G. Motivated by the data at the Poisson (classical) level, we then construct on A its locally compact quantum group structures: comultiplication, counit, antipode and Haar weight, as well as its associated multiplicative unitary operator. We also find a quasitriangular ``quantum universal R-matrix'' type operator for A, which agrees well with the quasitriangularity at the Lie bialgebra level.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク代数上の準三角的リーダイアルゲブラから生じる非コンパクトなポアソン–リー群から、局所コンパクトな量子群を構成すること。
• 双対群上の非線形ポアソンブラケットを、線形ブラケットのコycle摂動として実現すること。
• ねじれ付き群C*-代数を用いて、ポアソン–リー群の厳密な変形量子化を確立すること。
• 得られたC*-代数上に、comultiplication、counit、antipode、ハール測度を含む完全な量子群構造を定義すること。
• リーダイアルゲブラレベルでの古典的準三角的性質と一致する、準三角的R行列作用素を構成すること。

提案手法

• ヘイゼンベルクリーダイアルゲブラ上の準三角的構造の双対リーダイアルゲブラを用いて、双対群G上の非線形ポアソンブラケットを定義する。
• 非線形ポアソンブラケットが線形ポアソンブラケットのコycle変形として示され、量子化が可能であることを示す。
• ポアソン–リー群Gの厳密な変形量子化として、ねじれ付き群C*-代数Aを構成する。
• ポアソン–リー群のデータを用いて、A上でのcomultiplication、counit、antipode、ハール測度を明示的に定義する。
• 量子群構造から、自己双対性を保証する乗法的ユニタリ作用素を構成する。
• A上に、量子ヤン–バクスター方程式を満たし、リーダイアルゲブラレベルでの古典的準三角的性質と一致する、準三角的R行列作用素を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、準三角的構造をもつヘイゼンベルク型リーダイアルゲブラから非コンパクトな量子群を構成できるか？
• RQ2 双対ポアソン–リー群上の非線形ポアソンブラケットは、線形ブラケットのコycle摂動として実現可能か？
• RQ3 得られる厳密な変形量子化は、完全な局所コンパクトな量子群構造を備えているか？
• RQ4 量子群上に、古典的準三角的性質と整合する準三角的R行列作用素が存在するか？
• RQ5 この非コンパクトな設定において、乗法的ユニタリ作用素は量子群構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 双対群G上の非線形ポアソンブラケットが、線形ポアソンブラケットのコycle摂動として実現され、変形量子化が可能であることが示された。
• ねじれ付き群C*-代数Aが構成され、それがポアソン–リー群Gの厳密な変形量子化であることが証明された。
• C*-代数Aは、comultiplication、counit、antipode、およびハール測度を含む完全な局所コンパクトな量子群構造を有する。
• A上に、量子群の対称性を符号化する乗法的ユニタリ作用素が明示的に構成された。
• A上に、量子ヤン–バクスター方程式を満たし、リーダイアルゲブラレベルでの古典的準三角的性質と一致する準三角的R行列作用素が定義された。
• A上の量子群構造は、古典的ポアソン–リー群およびその準三角的性質と整合的であり、非コンパクトな準三角的量子群の例を提供する。