[論文レビュー] Non-Conservative Variational Approximation for Nonlinear Schroedinger Equations

J. M. Rossi, R. Carretero-González+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Mechanical and Optical Resonators参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非保存項を伴う非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、非保存的変分近似（NCVA）を導入し、ガレーのハミルトニアンの原理の初期値形式を複雑な偏微分方程式（PDE）へ拡張する。NCVAは無限次元の力学を、アーンツァパラメータの常微分方程式（ODE）に還元し、摂動的およびカンタロヴィチに基づく変分法と同等の結果をもたらす。線形および非線形の損失・増幅を含む状況において、NCVAと完全なNLS力学との間に強い一致が得られ、特に励起子極子凝縮系においても同様である。

ABSTRACT

Recently, Galley [Phys. Rev. Lett. {\bf 110}, 174301 (2013)] proposed an initial value problem formulation of Hamilton's principle applied to non-conservative systems. Here, we explore this formulation for complex partial differential equations of the nonlinear Schrodinger (NLS) type, examining the dynamics of the coherent solitary wave structures of such models by means of a non-conservative variational approximation (NCVA). We compare the formalism of the NCVA to two other variational techniques used in dissipative systems; namely, the perturbed variational approximation and a generalization of the so-called Kantorovich method. All three variational techniques produce equivalent equations of motion for the perturbed NLS models studied herein. We showcase the relevance of the NCVA method by exploring test case examples within the NLS setting including combinations of linear and density dependent loss and gain. We also present an example applied to exciton polariton condensates that intrinsically feature loss and a spatially dependent gain term.

研究の動機と目的

• ガレーの非保存的変分形式（当初は有限自由度のODEに限られていた）を、非線形シュレーディンガー方程式（NLS）を含む無限次元の複雑なPDEに拡張すること。
• 従来の変分法が保存的でハミルトニアン構造を必要としているという制限を克服し、散逸的NLSモデルのような非保存的・開放系の変分的解析を可能にすること。
• 線形および密度依存性損失・増幅を含むテストケースを通じてNCVA手法を検証すること。特に、励起子極子凝縮のような本質的に非保存的系を含む。
• NCVAが、NLSフレームワーク内において、既存の変分的技術（摂動的VAおよび一般化されたカンタロヴィチ法）と同等の運動方程式を生成することを示すこと。
• 摂動論が失敗する領域、特に非保存的項が保存的項と同程度の大きさである場合にNCVAがどのように適用可能であるかを調査すること。

提案手法

• ガレーのハミルトニアンの原理の初期値形式を、複雑な非保存的PDEに適応させ、作用の変分問題を境界値問題ではなく初期値問題として扱う。
• NLS方程式に対して時間依存のアーンツァ（例：ガウス型またはq-ガウス型）を適用し、PDEをアーンツァパラメータのODEの連立系に還元する。
• 非保存的力（例：線形および非線形損失・増幅項）を含む非保存的作用関数を変分し、アーンツァパラメータの運動方程式を導出する。
• NCVAの結果を摂動的変分近似および一般化されたカンタロヴィチ法と比較し、NLS設定内での同等性を証明する。
• 数値シミュレーションを用いて、特に極子凝縮のような非保存的項が強い系において、NCVAを完全なNLS解と比較して検証する。
• 原子数依存性を考慮し、ガウス型およびトマス＝フェルミ型の両方のプロファイルを捉えることができる変分的アーンツァを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガレーの非保存的変分形式は、有限次元のODEから無限次元の複雑なPDE（例：非線形シュレーディンガー方程式）へ成功裏に拡張可能か？
• RQ2 散逸的NLSモデルに適用した場合、NCVAは摂動的VAやカンタロヴィチ法といった既存の変分的技術と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 摂動論が失敗する領域においても、NCVAは非保存的項が強いNLS系におけるコherent構造の力学をどれほど正確に記述できるか？
• RQ4 励起子極子凝縮で観測された反直感的な安定性反転現象（ダークソリトンが安定化し、基底状態が不安定化する）をNCVAは捉えることができるか？
• RQ5 空間的に依存する増幅および固有の損失を伴う系（例：極子凝縮）において、NCVAの有効性は何か？

主な発見

• NCVA手法は、NLSフレームワーク内において、摂動的変分近似および一般化されたカンタロヴィチ法から導かれる運動方程式と数学的に同等である。
• 線形および密度依存性損失・増幅を含むさまざまなテストケースにおいて、NCVAは完全なNLSシミュレーションと優れた定性的および定量的一致を示す。
• 非保存的項が保存的項と同程度の大きさであっても、NCVAは精度を維持するが、従来の摂動的手法では小さな摂動を仮定する必要があるため、そのような状況では不適切である。
• 励起子極子凝縮の事例では、NCVAは本質的な力学的および安定性的特徴（特に、ダークソリトン状態が基底状態よりも安定化する反直感的な安定性反転）を捉えている。
• アーンツァが正確にガウス型でない場合でも、原子数が増加するにつれて真のプロファイル（例：トマス＝フェルミ型）に収束するため、NCVAは依然として有効である。
• 標準的な摂動的アプローチが失敗する複雑なギンツブルグ＝ランダウ方程式のような開放的・非保存的系を研究する強固なフレームワークをNCVAは提供する。