[論文レビュー] Non-contextuality and free will in modal quantum theory

Benjamin Schumacher, Michael Westmoreland|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子理論の簡素化された離散的構造版である形式的量子理論（MQT）において、Kochen-Speckerの非文脈性定理およびConway-Kochenの自由意思定理の類似定理を確立する。証明は標準的量子理論におけるものよりも著しく単純であり、著者らはMQTがもたらすもつれ系の予測が、いかなる確率論的理論でも信号伝播を禁じる原則を満たすものではないことを示し、MQTが標準的量子理論とは基礎的に異なることを示している。

ABSTRACT

Modal quantum theory (MQT) is a simplified cousin of ordinary Hilbert space quantum theory. We show that two important theorems of actual quantum theory, the Kochen-Specker theorem excluding non-contextual hidden variables and the Conway-Kochen "free will theorem" about entangled systems, have direct analogues in MQT. The proofs of these analogue theorems are similar to, but much simpler than, the originals. We also show that the structure of possible measurement results for an entangled system in MQT cannot be represented by probability assignments satisfying the no-signaling principle, such as those given by ordinary quantum theory.

研究の動機と目的

• 形式的量子理論（MQT）が、標準的量子理論における2つの基礎的定理であるKochen-Speckerの非文脈性定理およびConway-Kochenの自由意思定理の類似定理を支持することを確立すること。
• MQTにおけるこれらの定理の証明が、実際の量子理論（AQT）におけるそれらよりも著しく単純であることを示し、その核心的な論理構造を明確にすること。
• MQTがもつれ系に対して予測する内容が、AQTのような確率論的理論によって再現可能かどうか、特に信号伝播を禁じる原則を満たすかどうかを調査すること。
• MQTの測定結果の可能な構造が、信号伝播を禁じる条件を満たす確率割り当てによって一貫して表現できないことの証明により、標準的量子確率枠組みとは根本的に不整合であることを示すこと。

提案手法

• 有限体上のベクトル空間としてMQTを形式化し、状態を非ゼロベクトル、効果を双対空間の要素とし、『可能』な結果を非ゼロ内積によって定義する。
• 測定を双対空間の基底として定義し、効果ベクトルに応じて結果を '+' または '-' でラベルづける。複合系は状態空間のテンソル積によって構成する。
• 2次元のMQT系（'mubit'）を構築し、3つの直交測定基底（X, Y, Z）を設け、それぞれが直交する効果のペアに対応する。
• Kochen-Speckerの議論をMQTに適応する際、文脈性の問題を有限体上の方向ベクトルのグラフ彩色問題に翻訳する。
• もつれ制約下での決定論的・非文脈的結果割り当ての整合性を分析することで、Conway-Kochenの自由意思定理をMQTに拡張する。
• MQTにおける2キュービットの特定のもつれ系を分析し、測定結果の可能性表を構築し、信号伝播を禁じる条件を満たす一貫した確率割り当てが得られるかどうかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kochen-Speckerの非文脈性定理は、形式的量子理論（MQT）の文脈で再定式化され、証明可能であるか。もしそうならば、標準的量子理論におけるそれよりも証明が単純であるか。
• RQ2 Conway-Kochenの自由意思定理はMQTにおいて有効な類似定理を有するか。また、この簡略化されたフレームワークにおける非文脈的決定論の構造はどのように現れるか。
• RQ3 MQTがもつれ系に対して予測する構造が、標準的量子理論と同様に信号伝播を禁じる原則を満たす確率モデルによって表現可能か。
• RQ4 MQTのモーダル構造が、もつれ系における時空的に分離された測定の同時確率割り当てにどのような制約を課えるか。
• RQ5 MQTは、特に確率的整合性および非局所的相関の観点から、標準的量子理論（AQT）に還元可能か。その程度はいかほどか。

主な発見

• Kochen-Speckerの非文脈性定理はMQTにおいて直接的な類似定理を有し、その証明は標準的量子理論におけるものよりも著しく単純である。有限体の算術と離散的方角集合上のグラフ彩色に依存する。
• Conway-Kochenの自由意思定理もMQTにおいて成立し、文脈性と結果の決定論的性質の核心的論理的依存関係を明確に分離する、簡素化された証明構造を持つ。
• 2-mubitもつれ系におけるMQTの測定結果の可能性構造は、いかなる信号伝播を禁じる原則を満たす確率割り当てによっても一貫して表現できない。
• MQTモデルにおける可能な結果への確率割り当てを試みた際、特定の交差相関確率（式(9)に従う）が相殺される必要があるため、一部の非ゼロ確率がゼロに強制され、『可能』な結果に非ゼロ確率が割り当てられるべきという要件に反する。
• 緩い条件（一部の『可能』な結果に確率ゼロを許容する）のもとで唯一一貫する確率割り当ては、PRボックスに類似した相関を生じるが、これは標準的量子理論および信号伝播を禁じる原則と根本的に不整合であることが知られている。
• したがって、MQTのもつれに関する予測は、信号伝播を禁じる原則を満たすいかなる確率論的理論とも根本的に不整合であり、MQTは標準的量子理論に還元できないことが示された。