[論文レビュー] Non-contractible configuration spaces

Cesar A. Ipanaque Zapata|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Fadell-Neuwirth フibration を用いて、任意の連結な有限次元位相的多様体 $M$ に対して $k \geq 2$ のとき、順序付き配置空間 $F(M,k)$ は常に可縮（または弱可縮）ではないことを証明している。応用として、ループ空間 $\Omega F(M,k)$ および スタンプニング $\Sigma F(M,k)$ の Lusternik-Schnirelmann 係数と位相的複雑度を計算し、$k \geq 3$ の条件下で $TC(\Omega F(M,k)) = \infty$ および $TC(\Sigma F(M,k)) = 3$ が成り立つことを示している。

ABSTRACT

Let $F(M,k)$ be the configuration space of ordered $k-$tuples of distinct points in the manifold $M$. Using the Fadell-Neuwirth fibration, we prove that the configuration spaces $F(M,k)$ are never contractible, for $k\geq 2$. As applications of our results, we will calculate the LS category and topological complexity for its loop space and suspension.

研究の動機と目的

• 有限次元多様体 $M$ 上で $k \geq 2$ のとき、配置空間 $F(M,k)$ が可縮であるかどうかを同定すること。
• Fadell-Neuwirth フibration および分類空間の議論を用いて、$F(M,k)$ が $k \geq 2$ のとき常に弱可縮でないことを確立すること。
• 特定の位相的条件下で、$\Omega F(M,k)$ および $\Sigma F(M,k)$ の Lusternik-Schnirelmann 係数と位相的複雑度を計算すること。
• $k \geq 2$ のとき、$F(X,k)$ がパス連結で、パラコンパクトで、有限次元な $X$ に対しては常に可縮でないという予想を解決すること。

提案手法

• Fadell-Neuwirth フibration $\pi_{k,r}: F(M,k) \to F(M,r)$ とファイバー $F(M \setminus Q_r, k-r)$ を用いて、$F(M,k)$ のホモトピー型を分析すること。
• 背理法による証明：$F(M,k)$ が可縮ならば、$F(M,k)/S_k$ は $BS_k$ の有限次元モデルであるが、これは $k \geq 2$ のとき不可能である。
• Mayer-Vietoris 列とコhomological 手法を用いて、$\Sigma F(M,k)$ および $\Omega F(M,k)$ の弱可縮性を分析すること。
• コhomology のカップ長を用いて Lusternik-Schnirelmann 係数を評価し、特に $1 + \text{cup}_\mathbb{K}(X) \leq \text{cat}(X)$ を利用すること。
• $\Sigma X$ が Mayer-Vietoris 分解における2つの開集合でそれぞれ可縮であることを活用し、$\text{cat}(\Sigma X) \leq 2$ を得る。$X$ が弱可縮でない場合、等号が成り立つことを証明すること。
• Lie 群 $G$ に対して $F(G,k) \simeq G \times F(G \setminus \{e\}, k-1)$ という積構造を用い、カップ長の評価と、$TC(\Sigma F(G,k)) = 2$ の場合の矛盾を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の連結な位相的多様体 $M$ 上で $k \geq 2$ のとき、配置空間 $F(M,k)$ は可縮か？
• RQ2 境界を持つ多様体でない $M$ を仮定しても、Fadell-Neuwirth フibration を用いて $F(M,k)$ の非可縮性を証明できるか？
• RQ3 単連結で次元 $\geq 3$ の多様体 $M$ に対して、$\Sigma F(M,k)$ の Lusternik-Schnirelmann 係数は何か？
• RQ4 単連結で次元 $\geq 3$ の Lie 群 $G$ に対して、$\Sigma F(G,k)$ の位相的複雑度は何か？
• RQ5 $\Omega F(M,k)$ の位相的複雑度は無限大になり得るか？ どのような条件下で？

主な発見

• 任意の連結な有限次元位相的多様体 $M$ と $k \geq 2$ に対して、Fadell-Neuwirth フibration および分類空間の障害を用いて、$F(M,k)$ は弱可縮でないことが証明された。
• $k \geq 2$ のとき、ポイント付きループ空間 $\Omega F(M,k)$ の位相的複雑度は無限大である。これは、この空間上で連続な運動計画法が存在しないことを示している。
• $k \geq 3$ のとき、次元が3以上で単連結な有限次元 Lie 群 $G$ に対して、$\Sigma F(G,k)$ の位相的複雑度は正確に3である。
• 任意の次元が3以上で単連結な有限次元多様体 $M$ と $k \geq 2$ に対して、$\Sigma F(M,k)$ の Lusternik-Schnirelmann 係数は正確に2である。これは $F(M,k)$ が弱可縮でないことに起因する。
• $k \geq 3$ のとき、$F(G \setminus \{e\}, k-1)$ のカップ長は少なくとも1以上である。これに加え、$G$ のカップ長を組み合わせると、$TC(\Sigma F(G,k)) = 2$ の場合に矛盾が生じ、$TC = 3$ が証明される。
• $\Sigma F(M,k)$ は $\text{cat}(\Sigma F(M,k)) = 2$ であり、$2 \leq TC(\Sigma F(M,k)) \leq 3$ である。上界は $k \geq 3$ および適切な $M$ の条件下で達成される。