[論文レビュー] Non-ergodic Z-periodic billiards and infinite translation surfaces

Krzysztof Frączek, Corinna Ulcigrai|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、無限大の $ζ$-周期的ビリヤードおよび変換表面の $ζ$-被覆における非エルゴード性の基準を確立し、パラメータの全測度集合および有理数パラメータに対して、方向流が非エルゴード的であり、非可算無限個のエルゴード成分を持つことを示している。この手法は、区間交換変換上の非正則な $ζ$-値コサイクルを、ポincare写像およびホモロジー類を用いて分析することに依存する。

ABSTRACT

We give a criterion which allows to prove non-ergodicity for certain infinite periodic billiards and directional flows on Z-periodic translation surfaces. Our criterion applies in particular to a billiard in an infinite band with periodically spaced vertical barriers and to the Ehrenfest wind-tree model, which is a planar billiard with a $Z^2$-periodic array of rectangular obstacles. We prove that, in these two examples, both for a full measure set of parameters of the billiard tables and for tables with rational parameters, for almost every direction the corresponding billiard flow is not ergodic and has uncountably many ergodic components. As another application, we show that for any recurrent Z-cover of a square tiled surface of genus two the directional flow is not ergodic and has no invariant sets of finite measure for a full measure set of directions. In the language of essential values, we prove that the skew-products which arise as Poincare' maps of the above systems are associated to non-regular Z-valued cocycles for interval exchange transformations.

研究の動機と目的

• 無限大 $ζ$-周期的ビリヤードおよび変換表面の $ζ$-被覆における非エルゴード性を示す基準を開発すること。
• 無限大不変測度を伴う無限大変換表面におけるエルゴード的性質の理解の不足を補うこと。
• 風の木モデルやスリットを有する帯状領域内の周期的ビリヤードといった、よく知られたモデルが、ほとんどすべての方向に対して非エルゴード的であることを示すこと。
• このような系において非可算無限個のエルゴード成分が存在することを確立すること。
• 方向流のPoincaré写像から生じる $ζ$-値コサイクルの非正則性と非エルゴード性の関係を明らかにすること。

提案手法

• 区間交換変換上の $ζ$-値コサイクルの非正則性に基づく非エルゴード性の一般基準（定理6.1）を定式化すること。
• 具体的な系にこの基準を適用する：周期的に配置された垂直スリットを有する無限大帯領域内のビリヤードおよび $ζ^2$-周期的エーレンフェスト風の木モデル。
• 表面上の閉曲線のホモロジー類を用いてPoincaré写像を分析し、それらを流れの挙動に関連付けること。
• ストークスの定理を用いて、平坦計量における長方形上での微分形式の時間積分の差を評価すること。
• $ζ$-コサイクル $F^{v}_{f}$ の挙動を分析し、測度論的推定を用いた背理法により、それがコバウンダリーでないことを証明すること。
• 測度のKZ-双曲性および安定空間 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$ を用いて、コサイクルが正則であると仮定した場合に矛盾を導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、$ζ$-周期的無限大変換表面上の方向流が非エルゴード的となるか？
• RQ2 風の木モデルや帯状領域内の周期的ビリヤードの非エルゴード性が、パラメータの全測度集合に対して厳密に確立可能か？
• RQ3 このような非エルゴード的系におけるエルゴード分解の構造は何か—特に、非可算無限個のエルゴード成分を有するか？
• RQ4 区間交換変換上の $ζ$-値コサイクルの非正則性は、関連するスケイプ積のエルゴード的性質とどのように関係するか？
• RQ5 $ζ$-被覆上の方向流のPoincaré写像がどの程度正則でないか、そしてそれが基礎となる力学系に何を意味するか？

主な発見

• 長さ $l \in (0,1)$ の周期的に配置された垂直スリットを有する無限大帯領域内のビリヤードについて、ほとんどすべての方向およびすべての有理数 $l$ に対して、方向流は非エルゴード的であり、非可算無限個のエルゴード成分を持つ。
• $ζ^2$-周期的長方形障害物を有するエーレンフェスト風の木モデルは、パラメータの全測度集合および有理数パラメータに対して、非エルゴード的で非可算無限個のエルゴード成分を持つ方向流を示す。
• 任意の再帰的 $ζ$-被覆について、 genus 2 の正方形タイル化表面に対して、方向流は非エルゴード的であり、ほとんどすべての方向に対して有限測度の不変集合を有さない。
• 考察された系のPoincaré写像は、区間交換変換上の非正則 $ζ$-値コサイクルに関連するスケイプ積である。
• 流れに関連するコサイクル $F^{v}_{f}$ はコバウンダリーではありえない。これは測度論的推定および安定空間 $E_{\omega}^{-}(M,\mathbb{R})$ の非消滅性を用いた背理法により示された。
• 正則性の仮定の下で $\liminf_{t\to\infty} \|\rho\|_{G_{t}\omega} < \infty$ が成り立つことが証明され、これが測度のKZ-双曲性に矛盾するため、非正則性が証明された。