[論文レビュー] Non-existence of universal $R$-matrix for some C$^{*}$-bialgebras

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Dec 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非コアブルな余代数構造を備えた特定のC*-バイアルゲブラ、特にCuntz代数の直和 $Δ_\varphi$ を備えた $Δ_\varphi$ に対して、普遍R行列の非存在を確立する。著者らは、$Δ_\varphi$ と $Δ_\varphi^{\text{op}}$ における非退化表現のテンソル積がユニタリ同値でないことを示し、普遍R行列に必要な交換条件が成立しないことから、これらのC*-バイアルゲブラに対してはこのようなR行列が存在しないことを示している。

ABSTRACT

For a C$^{*}$-bialgebra $A$ with a comultiplication $Δ$, a universal $R$-matrix of $(A,Δ)$ is defined as a unitary element in the multiplier algebra $M(A\otimes A)$ of $A\otimes A$ which is an intertwiner between $Δ$ and its opposite comultiplication $Δ^{op}$. We show that there exists no universal $R$-matrix for some C$^{*}$-bialgebras.

研究の動機と目的

• 非ユニタルかつ純代数的バイアルゲブラでない状況に一般化された、C*-バイアルゲブラにおける普遍R行列の定義。
• Cuntz代数の直和に非コアブルな余代数構造 $Δ_\varphi$ を備えたC*-バイアルゲブラ $(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$ が普遍R行列を有するかどうかの調査。
• C*-バイアルゲブラの表現論に基づく、普遍R行列の非存在に関する基準の確立。
• Cuntz＝クライガー代数 $\mathsf{CK}_*$ のようなより広いクラスのC*-バイアルゲブラへの結果の拡張。

提案手法

• C*-バイアルゲブラ $(A, \Delta)$ に対して、ユニタリ元 $R \in M(A \otimes A)$ がすべての $x \in A$ に対して $R \Delta(x) R^* = \Delta^{\text{op}}(x)$ を満たすとき、それを普遍R行列と定義する。これは、純代数的量子群の概念を非ユニタルな状況に一般化する。
• 余代数構造の反転 $\Delta^{\text{op}}$ を定義するために、$M(A \otimes A)$ 上の拡張されたフリップ写像 $\tilde{\tau}_{A,A}$ を導入する。
• 補題2.1の証明：C*-バイアルゲブラが擬似コアブル的（すなわち、普遍R行列を有する）ならば、任意の非退化表現 $\pi_1, \pi_2$ に対して、$(\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta$ と $(\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta$ はユニタリ同値である。
• 補題2.1の対偶を用いる：このようなテンソル積表現がユニタリ同値でない場合、普遍R行列は存在しない。
• $\mathcal{O}_*$ と $\Delta_\varphi$ にこの基準を適用し、[8]に記載された既知の例を用いて、特定のユニタリ表現 $\pi_1, \pi_2$ に対して $ (\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta_\varphi|_{\mathcal{O}_4} $ と $ (\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta_\varphi|_{\mathcal{O}_4} $ がユニタリ同値でないことを示す。
• 非退化 $\{0,1\}$-行列と関連するすべてのCuntz＝クライガー代数の直和である $\mathsf{CK}_*$ に結果を拡張し、$\mathcal{O}_*$ がその部分バイアルゲブラとして含まれ、擬似コアブル的でない性質を継承することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コアブルな余代数構造を有するC*-バイアルゲブラ $(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$ に対しても、普遍R行列が存在するのか？
• RQ2 非ユニタルかつ純代数的バイアルゲブラでないC*-バイアルゲブラに対し、普遍R行列の概念を意味的に一般化できるか？
• RQ3 C*-バイアルゲブラにおける普遍R行列の存在に、表現論的障害が存在するか？
• RQ4 C*-バイアルゲブラ $\mathcal{O}_*$ における普遍R行列の非存在は、それを部分バイアルゲブラとして含むより大きなC*-バイアルゲブラへも拡張可能か？

主な発見

• C*-バイアルゲブラ $(\mathcal{O}_*, \Delta_\varphi)$ は、特定のユニタリ表現 $\pi_1, \pi_2$ に対して、テンソル積表現 $ (\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta_\varphi $ と $ (\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta_\varphi $ がユニタリ同値でないため、普遍R行列を有さない。
• $\mathcal{O}_*$ における普遍R行列の非存在は、非退化 $\{0,1\}$-行列と関連するすべてのCuntz＝クライガー代数の直和 $\mathsf{CK}_*$ に対しても成立し、同様に擬似コアブル的でないことが示された。
• 補題2.1における基準——$ (\pi_1 \otimes \pi_2) \circ \Delta $ と $ (\pi_2 \otimes \pi_1) \circ \Delta $ のユニタリ同値性が普遍R行列の存在に不可欠である——は、C*-バイアルゲブラの文脈でも成立する。
• 結果として、C*-バイアルゲブラにおける単位元の不在が、純代数的量子群の公理の直接適用を不可能にし、普遍R行列の定義を修正する必要があることが示された。
• C*-バイアルゲブラがコアブルでない場合、普遍R行列は $M(A \otimes A)$ 内の単位元のスカラー倍ではあり得ない。これは、擬似コアブル的でない性質が、単にコアブルでない性質よりも強い条件であることを確認する。
• 本稿は、C*-バイアルゲブラにおける普遍R行列の存在に対する表現論的障害を提供し、量子群理論の範囲を非ユニタルな作用素代数へ拡張した。