[論文レビュー] Non-Gaussian quasi-likelihood estimation of SDE driven by locally stable Lévy process

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所的安定Lévy過程で駆動される1変量確率微分方程式（SDE）のパrametric係数に対して、遷移密度の小時間安定近似を用いた非ガウス的擬似尤度推定量を提案する。得られる推定量は、高周波度サンプリング下で漸近的混合正規性を達成し、この非ガウス的設定下では一貫性を示さない従来のガウス的擬尤度最尤推定量を上回る性能を示す。

ABSTRACT

We address estimation of parametric coefficients of a pure-jump Lévy driven univariate stochastic differential equation (SDE) model, which is observed at high frequency over a fixed time period. It is known from the previous study Masuda (2013) that adopting the conventional Gaussian quasi-maximum likelihood estimator then leads to an inconsistent estimator. In this paper, under the assumption that the driving Lévy process is locally stable, we extend the Gaussian framework into a non-Gaussian counterpart, by introducing a novel quasi-likelihood function formally based on the small-time stable approximation of the unknown transition density. The resulting estimator turns out to be asymptotically mixed normally distributed without ergodicity and finite moments for a wide range of the driving pure-jump Lévy process, showing much better theoretical performance compared with the Gaussian quasi-maximum likelihood estimator. Extensive simulations are carried out to show good estimation accuracy. The case of large-time asymptotics under ergodicity is briefly mentioned as well, where we can deduce an analogous asymptotic normality result.

研究の動機と目的

• 純跳躍Lévy過程で駆動されるSDEの高周波度サンプリングにおいて、ガウス的擬尤度最尤推定量の不一貫性を解消すること。
• 局所的安定Lévyノイズに起因する小時間非ガウス性を考慮する非ガウス的擬尤度フレームワークを構築すること。
• 固定時間区間における高周波度サンプリング下で、提案された推定量の漸近的混合正規性を確立すること。
• エルゴディシティのもとでの大時間漸近的枠組みへ理論的拡張を行い、標準的漸近正規性を導出すること。
• 広範なシミュレーションを通じて、ガウス的擬尤度手法に比べて優れた推定精度を実証すること。

提案手法

• SDEの未知の遷移密度の小時間安定近似に基づく、新しい擬尤度関数を導入する。
• 駆動するLévy過程が局所的に対称的で、既知のβ ∈ [1, 2) であるβ安定型と仮定し、小時間非ガウス的挙動を保証する。
• 安定近似から導かれる非ガウス的擬尤度関数を最大化することで、最大擬尤度推定量（MLE）を構築する。
• 高周波度サンプリング（h → 0、T固定）下で推定量の漸近的混合正規性を確立し、収束速度が安定指数βに依存することを示す。
• マーティングルの中心極限定理および依存配列に対する一様大数の法則を用いて、漸近的分布的結果を導出する。
• エルゴディシティのもとで大時間漸近的解析に拡張し、混合正規性を示さない標準的漸近正規性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的安定Lévyノイズを有する高周波度SDEにおいて、非ガウス的擬尤度アプローチは、ガウス的擬尤度最尤推定量の不一貫性を克服できるか？
• RQ2 安定指数βは、提案フレームワーク下でのトレンドパramータ推定量の収束速度にどのように影響するか？
• RQ3 固定時間区間における高周波度サンプリング下で、提案された推定量の漸近的分布的挙動はいかなるものか？
• RQ4 プロセスがエルゴディックである場合、大時間漸近的枠組みにおいて、提案手法は一貫性および漸近正規性を保持するか？
• RQ5 有限標本下のシミュレーションにおいて、非ガウス的擬尤度推定量はガウス的対応手法に比べてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案された非ガウス的擬尤度推定量は、固定Tにおける高周波度サンプリング下で漸近的混合正規分布に従うが、ガウス的擬尤度最尤推定量とは異なり、一貫性を示さない。
• トレンドパramータαの収束速度は√n h^{1−1/β}であり、安定指数βに明示的に依存しており、ジャンプ活動の影響を反映している。
• スケールパramータγの推定速度は標準的√nレートであり、βとは独立しており、パramータごとの異なる収束挙動を示している。
• 推定量の漸近的分散-共分散行列は、安定密度およびその導関数の積分を含むβ依存型成分で特徴づけられる。
• エルゴディシティおよび大時間漸近的枠組み下では、推定量は標準的漸近正規性を達成し、収束速度および極限分布は高周波度ケースと類似している。
• シミュレーションにより、提案手法がガウス的擬尤度手法に比べて顕著に高い推定精度を達成することが確認され、特に非ガウス的状態下で顕著な優位性を示した。