[論文レビュー] Non-Gibbsianness of the invariant measures of non-reversible cellular automata with totally asymmetric noise

Roberto Fernández, André Toom|ArXiv.org|Jan 15, 2001

Cellular Automata and Applications参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、0が1に確率的に反転可能だが逆は不可能な完全非対称ノイズを有する非可逆セルオートマトンの不変測度が非ギブス的であることを示している。d≥2の格子上におけるエローダ型オートマトンにおいて、損傷拡散機構を用い、1の均一領域が指数的に高すぎる確率を持つことを示した。これは、半径Lの球状領域の対数確率が体積に比例して指数的に減少するという事実によって裏付けられ、ギブス性を破る。

ABSTRACT

We present a class of random cellular automata with multiple invariant measures which are all non-Gibbsian. The automata have configuration space {0,1}^{Z^d}, with d > 1, and they are noisy versions of automata with the "eroder property". The noise is totally asymmetric in the sense that it allows random flippings of "0" into "1" but not the converse. We prove that all invariant measures assign to the event "a sphere with a large radius L is filled with ones" a probability μ_L that is too large for the measure to be Gibbsian. For example, for the NEC automaton -ln(μ_L) ~ L while for any Gibbs measure the corresponding value is ~ L^2.

研究の動機と目的

• 非可逆確率的セルオートマトンに伴う非対称ノイズの下での不変測度のギブス性を調査すること。
• このような測度が統計力学系の平衡状態に対応できるかどうかを特定すること。
• このクラスにおいて複数の不変測度が存在するが、それらがすべて非ギブス的であることを確立すること。
• 対称的ノイズや詳細釣合のない場合に限らない非ギブス性の理解を拡張すること。

提案手法

• d>1の{0,1}^Z^d上に、片側ノイズ（0→1のみ）を有する決定的エローダ型オートマトンから導かれる確率的セルオートマトンのクラスを構築する。
• 時間経過とともに1の球状領域を埋める「スパイダー」または初期種子配置を用いて、ダイナミクスを分析する。
• 半径Lの1の球が観測される確率の下界を導出し、ギブス的挙動が要求するexp(−cL²)ではなく、exp(−cL)の減少を示す。
• 単一サイト変換の下でも非ギブス性が保たれることを示すために、再正規化およびブロック変換の議論を適用する。
• 最小限の遷移率条件を満たすランダムセルオートマトンの広いクラスに一般化するため、下界推定法を用いる。
• NECモデルなどの具体的な例を検討し、座標に対する感度が異なる関数fについて一般化し、特定のfに対してより強い境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆セルオートマトンに完全非対称ノイズを適用した場合、その不変測度はギブス的であるか？
• RQ2 このような系において、1の大きな均一クラスタがギブス測度と整合しない確率を持つことは可能か？
• RQ3 非ギブス性は再正規化変換の下でも安定的か？
• RQ4 詳細釣合の欠如と一方向ノイズの存在が、複数の不変測度が存在する状況でも非ギブス性を引き起こすか？
• RQ5 大規模な均一領域の確率の減少率を非ギブス性の診断指標として用いることができるか？

主な発見

• 研究対象の非可逆セルオートマトンに完全非対称ノイズを適用した場合、すべての不変測度は非ギブス的である。
• 半径Lの球が1で埋まっている確率μ_Lはexp(−cL)の速度で減少するが、これはギブス性を満たすには速すぎる。ギブス測度はexp(−cL²)の減少を要求する。
• NECオートマトンでは−ln μ_L ≍ Lであるが、任意のギブス測度では−ln μ_L ≍ L²であるべきであり、これはギブス的挙動の明確な違反を示している。
• 非ギブス性は、1つの「スパイダー」が1の球状領域を埋めるまで拡散する損傷拡散メカニズムに起因する。このため、このような状態は過剰に高い確率を持つ。
• 動的可逆性や詳細釣合の条件を満たさない場合でも、この結果は成り立ち、最小限の遷移率条件を満たすより広いクラスのランダムセルオートマトンにまで拡張可能である。
• 非ギブス性は単一サイト再正規化の下でも安定であり、測度がギブス測度のブロック平均から生じることはないことを示唆する。