[論文レビュー] Non-Haar $p$-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations

Andrei Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich|ArXiv.org|Aug 25, 2008

advanced mathematical theories参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$ \mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ において、コンパクトに台を持つ非ハール $p$-進ウェーブレット基底の新しい族を構成し、特に分数階の作用素を含む $p$-進擬微分作用素の固有関数としての役割を確立する。著者らは、ウェーブレットが固有関数であるための基準を導出し、それらを用いて線形および半線形 $p$-進擬微分方程式の明示的解を構成する。

ABSTRACT

In this paper a countable family of new compactly supported {\em non-Haar} $p$-adic wavelet bases in ${\cL}^2(\bQ_p^n)$ is constructed. We use the wavelet bases in the following applications: in the theory of $p$-adic pseudo-differential operators and equations. Namely, we study the connections between wavelet analysis and spectral analysis of $p$-adic pseudo-differential operators. A criterion for a multidimensional $p$-adic wavelet to be an eigenfunction for a pseudo-differential operator is derived. We prove that these wavelets are eigenfunctions of the fractional operator. In addition, $p$-adic wavelets are used to construct solutions of linear and semi-linear pseudo-differential equations. Since many $p$-adic models use pseudo-differential operators (fractional operator), these results can be intensively used in these models.

研究の動機と目的

• 線形代数的 $p$-進解析に応用可能な、$ \mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 内のコンパクトに台を持つ非ハールウェーブレット基底の新しいクラスを開発すること。
• ウェーブレット解析と $p$-進擬微分作用素のスペクトル理論との間の関係を確立すること。
• 一般の擬微分作用素の固有関数としての $p$-進ウェーブレットであるための基準を導出すること。
• 構築されたウェーブレットを用いて、線形および半線形 $p$-進擬微分方程式を解くこと。
• $p$-進ウェーブレットの適用範囲を、分数階作用素および擬微分方程式に依存するモデルへ拡張すること。

提案手法

• $p$-進空間 $\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 内に、母数関数のスケーリングと平行移動を用いて、非ハール $p$-進ウェーブレット基底の可算族を構成する。
• 加法的特徴関数 $\chi_p$ と特性関数 $\Omega(|\cdot|_p)$ を用いてウェーブレットを定義し、$\mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ の基底を形成する。
• スペクトル解析を用いて、多変数 $p$-進ウェーブレットが擬微分作用素の固有関数であるための基準を導出する。
• 作用素の記号とウェーブレット構造を用いて、分数階 $p$-進作用素の固有関数として構築されたウェーブレットを証明する。
• ウェーブレット基底を用いて、$\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$ 内の級数展開の形で $p$-進擬微分方程式の解を表現する。
• ウェーブレット係数と作用素記号を用いて、半線形 $p$-進擬微分方程式を含むコーシー問題の明示的解公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 内に、コンパクトに台を持つ非ハール $p$-進ウェーブレット基底の新しい族を構成できるか？
• RQ2 $p$-進ウェーブレットが擬微分作用素の固有関数であるための条件は何か？
• RQ3 $p$-進ウェーブレットを用いて、線形および半線形 $p$-進擬微分方程式をどのように解くことができるか？
• RQ4 $p$-進ウェーブレットと分数階作用素との間のスペクトル的関係は何か？
• RQ5 半線形 $p$-進擬微分方程式のコーシー問題の解をウェーブレット係数の観点から表現できるか？

主な発見

• コンパクトに台を持つ非ハール $p$-進ウェーブレット基底の可算族が、$ \mathcal{L}^2(\mathbb{Q}_p^n)$ 内で明示的に構成された。
• 作用素の記号とウェーブレット構造を用いた証明により、ウェーブレットが分数階 $p$-進擬微分作用素の固有関数であることが示された。
• 作用素の記号とウェーブレット係数に基づいて、一般の擬微分作用素の固有関数としての $p$-進ウェーブレットであるための基準が導出された。
• リゾルキン空間 $\Phi^\prime(\mathbb{Q}_p^n)$ 内のウェーブレット展開を用いて、線形および半線形 $p$-進擬微分方程式の明示的解が構成された。
• 半線形 $p$-進擬微分方程式を含むコーシー問題の解に対して、有限和としてのウェーブレット係数に関する閉形式の解公式が導出された。
• 作用素記号 $\mathcal{A} \to 0$ の極限においても、解公式は有効であり、ゼロ作用素の場合を含む。