[論文レビュー] Non-Hausdorff groupoids

Ruy Exel|ArXiv.org|Dec 22, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非ハウスドルフで、エタール的かつ本質的に主な群コアの具体例を構成し、三つの基本的結果—(A) 単位空間上の連続関数が簡約群コアC*-代数において最大であること、(B) 0でない任意のイデアルがユニタリ部分代数と交差すること、(C) ノーマライザの補助集合が二等分されること—が成立しないことを示す。その失敗は、Z₂作用による二本の直線の和集合の原点における非ハウスドルフ位相に起因し、これらの結果が本質的にハウスドルフ仮定に依存していることを示している。

ABSTRACT

We present examples of non-Hausdorff, etale, essentially principal groupoids for which three results, known to hold in the Hausdorff case, fail. These results are: (A) the subalgebra of continuous functions on the unit space is maximal abelian within the reduced groupoid C*-algebra, (B) every nonzero ideal of the reduced groupoid C*-algebra has a nonzero intersection with the subalgebra of continuous functions on the unit space, and (C) the open support of a normalizer is a bissection.

研究の動機と目的

• 非ハウスドルフな状況下で、群コアC*-代数理論における三つの主要な結果—最大可換部分代数、単位空間とのイデアル交差、ノーマライザの補助集合が二等分であること—が成立しないことを示すこと。
• 非ハウスドルフ位相が原点に存在する二本の実数直線の和集合におけるZ₂作用の芽の群コアを用いて、明示的な反例を構成すること。
• これらの結果がクンツ＝クリーガー代数やグラフC*-代数で広く用いられているが、本質的にハウスドルフ仮定に依存していることを明確にすること。
• 非ハウスドルフ状況における条件付き期待値の議論の失敗を精確に分析すること、特に単位空間上の関数のノルム制御に関するもの。
• 標準的な一意性および忠実性定理がハウスドルフ性がない場合に、すなわち本質的に主な群コアにおいても簡約群コアC*-代数で失敗することを確立すること。

提案手法

• Z = [-1,1]×{0} ∪ {0}×[-1,1] 上のZ₂作用（反射σₓおよびσᵧによる生成）からなる芽の群コアGとして、非ハウスドルフなエタール群コアGを構成する。
• 単位空間G⁽⁰⁾をZと定義し、原点における安定化部分群が非自明であることを示し、これにより非ハウスドルフ性が生じることを示す。
• f₁, fₓ, fᵧ, fₓᵧをそれぞれUₐの特性関数とするbisection Uₐに対し、f = f₁ − fₓ − fᵧ + fₓᵧ と定義し、f(0) = 1 かつ 他のすべての単位γ ∈ G⁽⁰⁾でf(γ) = 0 であることを示す。
• 原点におけるディラック状態に付随するGNS表現πを用いて、||π(f)|| = 1 であることを示すが、supₓ∈G⁽⁰⁾ |f(x)| = 1 である一方で、fはC*-ノルムにおけるC₀(G⁽⁰⁾)の閉包に属さないことを示す。
• 非ハウスドルフ状況下で、C_r^*(G) → C₀(G⁽⁰⁾) への条件付き期待値Eが、||E(f)|| ≤ ||π(f)|| を満たさないことを証明し、標準的な忠実性の議論が破綻することを示す。
• 原点付近に台を持つ近似単位のネット(ξᵥ)を用いて、|⟨π(f)ξᵥ, ξᵥ⟩| → |f(x)| (x ∈ G⁽⁰⁾) となるが、非ハウスドルフ位相のためノルム制御が失敗することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gが非ハウスドルフ的かつエタール的であるとき、C₀(G⁽⁰⁾) は C_r^*(G) において最大可換部分代数のままであるか？
• RQ2 Gが非ハウスドルフ的かつ本質的に主であるとき、C_r^*(G) の0でないイデアルが C₀(G⁽⁰⁾) と交差しないことは可能か？
• RQ3 非ハウスドルフ状況下で、C_r^*(G) 内のノーマライザの開補助集合は、必然的に二等分集合であるか？
• RQ4 C₀(G⁽⁰⁾）上の表現の忠実性を示す標準的証明は、非ハウスドルフ群コアに拡張可能か？
• RQ5 ハウスドルフ条件は、群コアC*-代数の一意性定理の妥当性において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 関数f = f₁ − fₓ − fᵧ + fₓᵧ は f(0) = 1 かつ すべての他のγ ∈ G⁽⁰⁾でf(γ) = 0 であるが、||π(f)|| = 1 であり、非ハウスドルフ状況下で supₓ∈G⁽⁰⁾ |f(x)| = 1 が ||π(f)|| によって抑えられないことを示している。
• このfに対して、条件付き期待値E: C_r^*(G) → C₀(G⁽⁰⁾) は ||E(f)|| ≤ ||π(f)|| を満たさず、標準的な忠実性の議論が破綻する。
• C₀(G⁽⁰⁾) 上での表現πは忠実であるが、π(f) のノルムが1である一方でfはC₀(G⁽⁰⁾) の閉包に属さないため、C₀(G⁽⁰⁾) は最大可換部分代数ではない。
• J = ker(π) は0でないが、J ∩ C₀(G⁽⁰⁾) = 0 を満たし、性質(B)に反する。これはGが本質的に主であっても同様に成り立つ。
• fに対応するノーマライザuの補助集合はGそのものであり、これは二等分集合でないため、性質(C)に反する。
• ノルム制御の失敗は、原点における非ハウスドルフ位相に起因し、近似単位のネットが強作用素位相で収束するが、点ごとの有界性を保つ極限を持たないためである。